2220-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2220 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{\left(1-2^x\right)^4}[/math].

Решение

[math] \int\frac{dx}{\left(1-2^x\right)^4} =\int\frac{2^xdx}{2^x\left(1-2^x\right)^4} =\left[\begin{aligned} & t=1-2^x;\;2^x=1-t.\\ & dt=-2^x\ln{2}dx;\; 2^xdx=-\frac{dt}{\ln{2}}. \end{aligned}\right] =\frac{1}{\ln{2}}\int\frac{dt}{(t-1)t^4}. [/math]

[dmath] \frac{1}{(t-1)t^4} =\frac{A_0}{t-1}+\frac{A_1}{t}+\frac{A_2}{t^2}+\frac{A_3}{t^3}+\frac{A_4}{t^4} =\frac{A_0t^4+A_1(t-1)t^3+A_2(t-1)t^2+A_3(t-1)t+A_4(t-1)}{(t-1)t^4} [/dmath]

[dmath] \begin{aligned} &1=A_0t^4+A_1(t-1)t^3+A_2(t-1)t^2+A_3(t-1)t+A_4(t-1)\\ &t=1;\;A_0=1. \end{aligned} [/dmath]

Подставляя [math]A_0=1[/math], будем иметь:

[dmath] 1-t^4=A_1(t-1)t^3+A_2(t-1)t^2+A_3(t-1)t+A_4(t-1);\\ -t^3-t^2-t-1=A_1t^3+A_2t^2+A_3t+A_4;\\ A_1=-1;\;A_2=-1;\;A_3=-1;\;A_4=-1. [/dmath]

[dmath] \frac{1}{(t-1)t^4} =\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t^3}-\frac{1}{t^4} [/dmath]

[dmath] \frac{1}{\ln{2}}\int\frac{dt}{(t-1)t^4} =\frac{1}{\ln{2}}\int\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t^3}-\frac{1}{t^4}\right)dt=\\ =\frac{1}{\ln{2}}\cdot\left(\ln|t-1|-\ln|t|+\frac{1}{t}+\frac{1}{2t^2}+\frac{1}{3t^3}\right)+C =x-\log_2\left|1-2^x\right|+\frac{1}{\ln{2}}\cdot\left(\frac{1}{1-2^x}+\frac{1}{2\left(1-2^x\right)^2}+\frac{1}{3\left(1-2^x\right)^3}\right)+C [/dmath]

Ответ

[math]x-\log_2\left|1-2^x\right|+\frac{1}{\ln{2}}\cdot\left(\frac{1}{1-2^x}+\frac{1}{2\left(1-2^x\right)^2}+\frac{1}{3\left(1-2^x\right)^3}\right)+C[/math]