2210-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2210 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\sin{2x}dx}{\cos^4{x}+\sin^4{x}}[/math].

Решение

Первый способ

[math] \int\frac{\sin{2x}dx}{\cos^4{x}+\sin^4{x}} =\int\frac{2\sin{x}\cos{x}dx}{\cos^4{x}\cdot\left(1+\frac{\sin^4{x}}{\cos^4{x}}\right)} =\int\frac{2\tg{x}\cdot\frac{dx}{\cos^2{x}}}{1+\tg^4{x}} =\int\frac{d\left(\tg^2{x}\right)}{1+\left(\tg^2{x}\right)^2} =\arctg\left(\tg^2{x}\right)+C. [/math]

Второй способ

[math] \int\frac{\sin{2x}dx}{\cos^4{x}+\sin^4{x}} =\int\frac{\sin{2x}dx}{\left(\sin^2{x}+\cos^2{x}\right)^2-2\sin^2{x}\cos^2{x}} =\int\frac{\sin{2x}dx}{1-\frac{\sin^2{2x}}{2}}=\\ =\int\frac{2\sin{2x}dx}{1+\cos^2{2x}} =-\int\frac{d(\cos{2x})}{1+\cos^2{2x}} =-\arctg(\cos{2x})+C. [/math]

Ответ

[math]-\arctg(\cos{2x})+C[/math]