Задача №1642
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{\sin{2x}dx}{\cos^4{x}+\sin^4{x}}\).
Решение
Первый способ
\[
\int\frac{\sin{2x}dx}{\cos^4{x}+\sin^4{x}}
=\int\frac{2\sin{x}\cos{x}dx}{\cos^4{x}\cdot\left(1+\frac{\sin^4{x}}{\cos^4{x}}\right)}
=\int\frac{2\tg{x}\cdot\frac{dx}{\cos^2{x}}}{1+\tg^4{x}}
=\int\frac{d\left(\tg^2{x}\right)}{1+\left(\tg^2{x}\right)^2}
=\arctg\left(\tg^2{x}\right)+C.
\]
Второй способ
\[
\int\frac{\sin{2x}dx}{\cos^4{x}+\sin^4{x}}
=\int\frac{\sin{2x}dx}{\left(\sin^2{x}+\cos^2{x}\right)^2-2\sin^2{x}\cos^2{x}}
=\int\frac{\sin{2x}dx}{1-\frac{\sin^2{2x}}{2}}=\\
=\int\frac{2\sin{2x}dx}{1+\cos^2{2x}}
=-\int\frac{d(\cos{2x})}{1+\cos^2{2x}}
=-\arctg(\cos{2x})+C.
\]
Ответ:
\(-\arctg(\cos{2x})+C\)