Задача №1641
Условие
Найти интеграл \(\int{xe^{x^2}\left(x^2+1\right)}dx\).
Решение
\[
\int{xe^{x^2}\left(x^2+1\right)}dx
=\frac{1}{2}\cdot\int{e^{x^2}\left(x^2+1\right)}d\left(x^2\right)
=\left[t=x^2\right]
=\frac{1}{2}\int(t+1)e^t dt=\\
=\left[\begin{aligned}
& u=t+1;\;du=dt.\\
& dv=e^tdt;\;v=e^t.
\end{aligned}\right]
=\frac{(t+1)e^t}{2}-\frac{1}{2}\int{e^t}dt
=\frac{(t+1)e^t}{2}-\frac{e^t}{2}+C
=\frac{x^2e^{x^2}}{2}+C
\]
Ответ:
\(\frac{x^2e^{x^2}}{2}+C\)