2187-1
Информация о задаче
Задача №2187 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{\arcsin{x}dx}{x^2}[/math].
Решение
В ходе решения мы придём к интегралу [math]\int\frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}}[/math]. Найти этот интеграл можно по-разному. Можно, например, как в задаче 1898-1 применить подстановку [math]x=\frac{1}{t}[/math]. Однако для разнообразия применим подстановку [math]x=\sin{t}[/math], где [math]t\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)[/math]. При этом [math]\cos{t}\gt{0}[/math], поэтому в решении будет использована формула [math]\sqrt{1-\sin^2{t}}=\cos{t}[/math].
[dmath] \begin{aligned} & \int\frac{\arcsin{x}dx}{x^2} =\left[\begin{aligned} & u=\arcsin{x};\;du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}};\\ & dv=\frac{dx}{x^2};\;v=-\frac{1}{x}. \end{aligned}\right] =-\frac{\arcsin{x}}{x^2}+\int\frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}} =\left[x=\sin{t}\right]=\\ & =-\frac{\arcsin{x}}{x^2}+\int\frac{\cos{t}dt}{\sin{t}\cos{t}} =-\frac{\arcsin{x}}{x^2}+\int\frac{dt}{\sin{t}} =-\frac{\arcsin{x}}{x^2}+\ln\left|\tg\frac{t}{2}\right|+C=\\ & =-\frac{\arcsin{x}}{x^2}+\ln\left|\frac{1-\cos{t}}{\sin{t}}\right|+C =-\frac{\arcsin{x}}{x^2}+\ln\left|\frac{1-\sqrt{1-\sin^2{t}}}{\sin{t}}\right|+C =-\frac{\arcsin{x}}{x^2}+\ln\left|\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}\right|+C \end{aligned} [/dmath]
Ответ
[math]-\frac{\arcsin{x}}{x^2}+\ln\left|\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}\right|+C[/math]
