2183-1

Информация о задаче

Задача №2183 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\ln(x+1)dx}{\sqrt{x+1}}[/math].

Решение

[dmath] \int\frac{\ln(x+1)dx}{\sqrt{x+1}} =\left[\begin{aligned} & u=\ln(x+1);\;du=\frac{dx}{x+1};\\ & dv=\frac{dx}{\sqrt{x+1}}=(x+1)^{-\frac{1}{2}}d(x+1);\;v=2(x+1)^{\frac{1}{2}}. \end{aligned}\right]=\\ =2\sqrt{x+1}\ln(x+1)-2\int(x+1)^{-\frac{1}{2}}dx =2\sqrt{x+1}\ln(x+1)-4\cdot(x+1)^{\frac{1}{2}}+C =2\sqrt{x+1}\left(\ln(x+1)-2\right)+C [/dmath]

Ответ

[math]2\sqrt{x+1}\left(\ln(x+1)-2\right)+C[/math]