Задача №1637
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{\ln(x+1)dx}{\sqrt{x+1}}\).
Решение
\[
\int\frac{\ln(x+1)dx}{\sqrt{x+1}}
=\left[\begin{aligned}
& u=\ln(x+1);\;du=\frac{dx}{x+1};\\
& dv=\frac{dx}{\sqrt{x+1}}=(x+1)^{-\frac{1}{2}}d(x+1);\;v=2(x+1)^{\frac{1}{2}}.
\end{aligned}\right]=\\
=2\sqrt{x+1}\ln(x+1)-2\int(x+1)^{-\frac{1}{2}}dx
=2\sqrt{x+1}\ln(x+1)-4\cdot(x+1)^{\frac{1}{2}}+C
=2\sqrt{x+1}\left(\ln(x+1)-2\right)+C
\]
Ответ:
\(2\sqrt{x+1}\left(\ln(x+1)-2\right)+C\)