2179-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2179 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{x\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}dx[/math].

Решение

[dmath] \int\frac{x\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}dx =\int\frac{x\sqrt{1+x}\cdot\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}\cdot\sqrt{1+x}}dx =\int\frac{x+x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx [/dmath] В принципе, здесь несложно разбить на два интеграла и во втором осуществить подстановку [math]x=\sin{t}[/math], однако сугубо из интереса пойдём немного иным путём. Для начала рассмотрим один вспомогательный интеграл:

[dmath] \int\sqrt{1-x^2}\;dx=\left[\begin{aligned}& u=\sqrt{1-x^2}; \; du=\frac{-xdx}{\sqrt{1-x^2}}.\\ & dv=dx; \; v=x. \end{aligned} \right] =x\cdot \sqrt{1-x^2}+\int\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=\\ =x\cdot\sqrt{1-x^2}-\int\frac{1-x^2-1}{\sqrt{1-x^2}}dx =x\cdot\sqrt{1-x^2}-\int\sqrt{9-x^2}\;dx +\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} =x\cdot\sqrt{1-x^2}-\int\sqrt{1-x^2}\;dx +\arcsin{x}+C. [/dmath]

[dmath] \int\sqrt{1-x^2}\;dx =\frac{x}{2}\cdot\sqrt{1-x^2}+\frac{\arcsin{x}}{2}+C [/dmath]

К слову, рассмотренный выше интеграл часто вносят в таблицы неопределённых интегралов в общем виде [math]\int\sqrt{a^2-x^2}dx[/math] как стандартную формулу. Возвращаемся к исходному интегралу:

[dmath] \int\frac{x+x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx =\int\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}dx-\int\frac{1-x^2-1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\\ =-\frac{1}{2}\int\left(1-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(1-x^2\right)-\int\sqrt{1-x^2}dx+\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\\ =-\sqrt{1-x^2}-\frac{x}{2}\cdot\sqrt{1-x^2}-\frac{\arcsin{x}}{2}+\arcsin{x}+C =-\sqrt{1-x^2}\cdot\left(1+\frac{x}{2}\right)+\frac{\arcsin{x}}{2}+C [/dmath]

Ответ

[math]-\sqrt{1-x^2}\cdot\left(1+\frac{x}{2}\right)+\frac{\arcsin{x}}{2}+C[/math]