Задача №1636
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{x\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}dx\).
Решение
\[
\int\frac{x\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}dx
=\int\frac{x\sqrt{1+x}\cdot\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}\cdot\sqrt{1+x}}dx
=\int\frac{x+x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx
\]
В принципе, здесь несложно разбить на два интеграла и во втором осуществить подстановку \(x=\sin{t}\), однако сугубо из интереса пойдём немного иным путём. Для начала рассмотрим один вспомогательный интеграл:
\[
\int\sqrt{1-x^2}\;dx=\left[\begin{aligned}& u=\sqrt{1-x^2}; \; du=\frac{-xdx}{\sqrt{1-x^2}}.\\ & dv=dx; \; v=x. \end{aligned} \right]
=x\cdot \sqrt{1-x^2}+\int\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=\\
=x\cdot\sqrt{1-x^2}-\int\frac{1-x^2-1}{\sqrt{1-x^2}}dx
=x\cdot\sqrt{1-x^2}-\int\sqrt{1-x^2}\;dx +\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\\
=x\cdot\sqrt{1-x^2}-\int\sqrt{1-x^2}\;dx +\arcsin{x}+C.
\]
\[
\int\sqrt{1-x^2}\;dx
=\frac{x}{2}\cdot\sqrt{1-x^2}+\frac{\arcsin{x}}{2}+C
\]
К слову, рассмотренный выше интеграл часто вносят в таблицы неопределённых интегралов в общем виде \(\int\sqrt{a^2-x^2}dx\) как стандартную формулу. Возвращаемся к исходному интегралу:
\[
\int\frac{x+x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx
=\int\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}dx-\int\frac{1-x^2-1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\\
=-\frac{1}{2}\int\left(1-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(1-x^2\right)-\int\sqrt{1-x^2}dx+\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\\
=-\sqrt{1-x^2}-\frac{x}{2}\cdot\sqrt{1-x^2}-\frac{\arcsin{x}}{2}+\arcsin{x}+C
=-\sqrt{1-x^2}\cdot\left(1+\frac{x}{2}\right)+\frac{\arcsin{x}}{2}+C
\]
Ответ:
\(-\sqrt{1-x^2}\cdot\left(1+\frac{x}{2}\right)+\frac{\arcsin{x}}{2}+C\)