2178-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2178 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{ae^{mx}+be^{-mx}}[/math].

Решение

Если [math]a=b=0[/math], то выражение [math]\frac{1}{ae^{mx}+be^{-mx}}[/math] не имеет смысла. Поэтому полагаем, что параметры [math]a[/math] и [math]b[/math] не могут одновременно равняться нулю. Если [math]m=0[/math], то получим:

[dmath] \int\frac{dx}{ae^{mx}+be^{-mx}} =\int\frac{dx}{a+b} =\frac{x}{a+b}+C [/dmath]

Пусть теперь [math]m\neq{0}[/math].

Если [math]a\neq{0}[/math], [math]b=0[/math], тогда получим:

[dmath] \int\frac{dx}{ae^{mx}+be^{-mx}} =\int\frac{dx}{ae^{mx}} =-\frac{1}{am}\cdot\int{e^{-mx}}d(-mx) =-\frac{e^{-mx}}{am}+C [/dmath]

Если [math]a=0[/math], [math]b\neq{0}[/math], тогда получим:

[dmath] \int\frac{dx}{ae^{mx}+be^{-mx}} =\int\frac{dx}{be^{-mx}} =\frac{1}{bm}\cdot\int{e^{mx}}d(mx) =\frac{e^{mx}}{bm}+C [/dmath]

Если же [math]a\neq{0}[/math], [math]b\neq{0}[/math], то будем иметь:


[dmath] \int\frac{dx}{ae^{mx}+be^{-mx}} =\int\frac{e^{mx}dx}{ae^{2mx}+b} =\frac{1}{am}\cdot\int\frac{d\left(e^{mx}\right)}{\left(e^{mx}\right)^2+\frac{b}{a}} [/dmath]

Если [math]\frac{b}{a}\gt{0}[/math], то получим:

[dmath] \frac{1}{am}\cdot\int\frac{d\left(e^{mx}\right)}{\left(e^{mx}\right)^2+\frac{b}{a}} =\frac{1}{am}\cdot\sqrt{\frac{a}{b}}\arctg\left(\sqrt{\frac{a}{b}}\cdot{e^{mx}}\right)+C [/dmath]

Если [math]\frac{b}{a}\lt{0}[/math], то получим:

[dmath] \frac{1}{am}\cdot\int\frac{d\left(e^{mx}\right)}{\left(e^{mx}\right)^2+\frac{b}{a}} =\frac{1}{2am}\cdot\sqrt{\left|\frac{a}{b}\right|}\ln\left|\frac{e^{mx}-\sqrt{\left|\frac{b}{a}\right|}}{e^{mx}+\sqrt{\left|\frac{b}{a}\right|}}\right|+C [/dmath]

Ответ

Задача решена.