Задача №1634
Условие
Найти интеграл \(\int{x\sqrt[3]{a+x}}dx\).
Решение
Первый способ
Формула \(u^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{u}\) верна лишь при \(u\ge{0}\). Для произвольного \(u\in{R}\) можно записать, что \(\sqrt[3]{u}=\sgn{u}\cdot{|u|^{\frac{1}{3}}}\). Эту формулу мы и применим в решении. С другой стороны, \(u\sqrt[3]{u}=\sqrt[3]{u^4}=|u|^{\frac{4}{3}}\). Кроме того, учтём, что \(\sgn^2(x+a)=1\) при \(x\neq{-a}\).
\[
\int{x\sqrt[3]{a+x}}dx
=\int{(x+a-a)\sqrt[3]{x+a}}dx
=\int\left(|x+a|^{\frac{4}{3}}-a\sgn(x+a)\cdot|x+a|^{\frac{1}{3}}\right)d(x+a)=\\
=\int\left(\sgn^2(x+a)\cdot|x+a|^{\frac{4}{3}}-a\sgn(x+a)\cdot|x+a|^{\frac{1}{3}}\right)d(x+a)=\\
=\sgn(x+a)\int\left(\sgn(x+a)\cdot|x+a|^{\frac{4}{3}}-a\cdot|x+a|^{\frac{1}{3}}\right)d(x+a)=\\
=\int\left(\sgn(x+a)\cdot|x+a|^{\frac{4}{3}}-a\cdot|x+a|^{\frac{1}{3}}\right)d(|x+a|)=\\
=\sgn(x+a)\cdot\frac{3|x+a|^{\frac{7}{3}}}{7}-a\cdot\frac{3|x+a|^{\frac{4}{3}}}{4}+C
=\frac{3\sqrt[3]{(x+a)^7}}{7}-\frac{3a\sqrt[3]{(x+a)^4}}{4}+C
\]
Второй способ
\[
\int{x\sqrt[3]{a+x}}dx
=\left[\begin{aligned}
& t=\sqrt[3]{x+a};\\
& x=t^3-a;\;dx=3t^2dt.
\end{aligned}\right]
=3\int\left(t^6-at^3\right)dt=\\
=3\cdot\left(\frac{t^7}{7}-\frac{at^4}{4}\right)+C
=\frac{3\sqrt[3]{(x+a)^7}}{7}-\frac{3a\sqrt[3]{(x+a)^4}}{4}+C
\]
Ответ:
\(\frac{3\sqrt[3]{(x+a)^7}}{7}-\frac{3a\sqrt[3]{(x+a)^4}}{4}+C\)