2177-1
Информация о задаче
Задача №2177 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int{x\sqrt[3]{a+x}}dx[/math].
Решение
Первый способ
Формула [math]u^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{u}[/math] верна лишь при [math]u\ge{0}[/math]. Для произвольного [math]u\in{R}[/math] можно записать, что [math]\sqrt[3]{u}=\sgn{u}\cdot{|u|^{\frac{1}{3}}}[/math]. Эту формулу мы и применим в решении. С другой стороны, [math]u\sqrt[3]{u}=\sqrt[3]{u^4}=|u|^{\frac{4}{3}}[/math]. Кроме того, учтём, что [math]\sgn^2(x+a)=1[/math] при [math]x\neq{-a}[/math].
[dmath] \int{x\sqrt[3]{a+x}}dx =\int{(x+a-a)\sqrt[3]{x+a}}dx =\int\left(|x+a|^{\frac{4}{3}}-a\sgn(x+a)\cdot|x+a|^{\frac{1}{3}}\right)d(x+a)=\\ =\int\left(\sgn^2(x+a)\cdot|x+a|^{\frac{4}{3}}-a\sgn(x+a)\cdot|x+a|^{\frac{1}{3}}\right)d(x+a) =\sgn(x+a)\int\left(\sgn(x+a)\cdot|x+a|^{\frac{4}{3}}-a\cdot|x+a|^{\frac{1}{3}}\right)d(x+a)=\\ =\int\left(\sgn(x+a)\cdot|x+a|^{\frac{4}{3}}-a\cdot|x+a|^{\frac{1}{3}}\right)d(|x+a|) =\sgn(x+a)\cdot\frac{3|x+a|^{\frac{7}{3}}}{7}-a\cdot\frac{3|x+a|^{\frac{4}{3}}}{4}+C =\frac{3\sqrt[3]{(x+a)^7}}{7}-\frac{3a\sqrt[3]{(x+a)^4}}{4}+C [/dmath]
Второй способ
[dmath] \int{x\sqrt[3]{a+x}}dx =\left[\begin{aligned} & t=\sqrt[3]{x+a};\\ & x=t^3-a;\;dx=3t^2dt. \end{aligned}\right] =3\int\left(t^6-at^3\right)dt=\\ =3\cdot\left(\frac{t^7}{7}-\frac{at^4}{4}\right)+C =\frac{3\sqrt[3]{(x+a)^7}}{7}-\frac{3a\sqrt[3]{(x+a)^4}}{4}+C [/dmath]
Ответ
[math]\frac{3\sqrt[3]{(x+a)^7}}{7}-\frac{3a\sqrt[3]{(x+a)^4}}{4}+C[/math]
