2167-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2167 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{3x^3dx}{\sqrt{x^2+4x+5}}[/math].

Решение

Первый способ

Предварительно, чтобы не отвлекаться в дальнейшем решении, рассмотрим пару интегралов, которые будут использованы далее.

[dmath] \int\frac{z^3dz}{\sqrt{z^2+1}} =\frac{1}{2}\int\frac{z^2d\left(z^2\right)}{\sqrt{z^2+1}} =\left[t=z^2\right] =\frac{1}{2}\int\frac{tdt}{\sqrt{t+1}}=\\ =\frac{1}{2}\int\frac{t+1-1}{\sqrt{t+1}}dt =\frac{1}{2}\int\left((t+1)^{\frac{1}{2}}-(t+1)^{-\frac{1}{2}}\right)dt =\frac{\sqrt{\left(z^2+1\right)^3}}{3}-\sqrt{z^2+1}+C [/dmath]

Рассмотрим и такой интеграл:

[dmath] \int\sqrt{z^2+1}dz =\left[\begin{aligned} & u=\sqrt{z^2+1};\;du=\frac{zdz}{\sqrt{z^2+1}};\\ & dv=dz;\;v=z. \end{aligned}\right] =z\sqrt{z^2+1}-\int\frac{z^2dz}{\sqrt{z^2+1}}=\\ =z\sqrt{z^2+1}-\int\frac{z^2+1-1}{\sqrt{z^2+1}}dz =z\sqrt{z^2+1}-\int\left(\sqrt{z^2+1}-\frac{1}{\sqrt{z^2+1}}\right)dz =z\sqrt{z^2+1}-\int\sqrt{z^2+1}dz+\int\frac{dz}{\sqrt{z^2+1}}. [/dmath]

[dmath] \int\sqrt{z^2+1}dz =\frac{z}{2}\sqrt{z^2+1}+\frac{1}{2}\cdot\int\frac{dz}{\sqrt{z^2+1}} [/dmath]

Вычислять до конца данный интеграл нет необходимости. Возвращаясь к исходному интегралу, получим:

[dmath] \int\frac{3x^3dx}{\sqrt{x^2+4x+5}} =\int\frac{3x^3dx}{\sqrt{(x+2)^2+1}} =\left[\begin{aligned} &z=x+2;\\ &dz=dx. \end{aligned}\right] =\int\frac{3(z-2)^3dz}{\sqrt{z^2+1}}=\\ =\int\frac{3z^3dz}{\sqrt{z^2+1}}-\int\frac{18\left(z^2+1\right)-36z+6}{\sqrt{z^2+1}}dz =3\int\frac{z^3dz}{\sqrt{z^2+1}}-18\int\sqrt{z^2+1}dz+36\int\frac{zdz}{\sqrt{z^2+1}}-6\int\frac{dz}{\sqrt{z^2+1}}=\\ =\sqrt{\left(z^2+1\right)^3}-3\sqrt{z^2+1}-9z\sqrt{z^2+1}-15\int\frac{dz}{\sqrt{z^2+1}}+18\int\left(z^2+1\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(z^2+1\right)=\\ =\sqrt{z^2+1}\left(z^2-9z+34\right)-15\ln\left(z+\sqrt{z^2+1}\right)+C =\sqrt{x^2+4x+5}\cdot\left(x^2-5x+20\right)-15\ln\left(x+2+\sqrt{x^2+4x+5}\right)+C [/dmath]

Второй способ

Этот способ основан на формуле, обоснование которой можно найти в книге Фихтенгольца "Курс дифференциального и интегрального исчисления" (том №2, пункт №284):

[dmath] \int\frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx =Q_{n-1}(x)\sqrt{ax^2+bx+c}+\lambda\int\frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}} [/dmath]

Здесь [math]P_n(x)[/math] – многочлен n-го порядка, а [math]Q_{n-1}(x)[/math] – многочлен n-1-го порядка. Для заданного интеграла данная формула примет такой вид:


[dmath] \int\frac{3x^3dx}{\sqrt{x^2+4x+5}} =\left(ax^2+bx+c\right)\sqrt{x^2+4x+5}+\lambda\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+4x+5}} [/dmath]

Дифференцируя обе части этого равенства, получим:

[dmath] \frac{3x^3}{\sqrt{x^2+4x+5}} =(2ax+b)\sqrt{x^2+4x+5}+\left(ax^2+bx+c\right)\cdot\frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+5}}+\frac{\lambda}{\sqrt{x^2+4x+5}};\\ 3x^3=(2ax+b)\left(x^2+4x+5\right)+\left(ax^2+bx+c\right)\cdot(x+2)+\lambda;\\ 3x^3=3ax^3+(10a+2b)x^2+(10a+6b+c)x+5b+2c+\lambda. [/dmath]

[dmath] \left\{\begin{aligned} &3a=3;\\ &10a+2b=0;\\ &10a+6b+c=0;\\ &5b+2c+k=0. \end{aligned}\right. [/dmath]

Решая данную систему, получим [math]a=1[/math], [math]b=-5[/math], [math]c=20[/math], [math]\lambda=-15[/math]. Подставляя найденные значения, будем иметь:

[dmath] \int\frac{3x^3dx}{\sqrt{x^2+4x+5}} =\left(x^2-5x+20\right)\sqrt{x^2+4x+5}-15\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+4x+5}}=\\ =\sqrt{x^2+4x+5}\cdot\left(x^2-5x+20\right)-15\ln\left(x+2+\sqrt{x^2+4x+5}\right)+C [/dmath]

Ответ

[math]\sqrt{x^2+4x+5}\cdot\left(x^2-5x+20\right)-15\ln\left(x+2+\sqrt{x^2+4x+5}\right)+C[/math]