2165-1
Информация о задаче
Задача №2165 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{\left(2x^2-3x\right)dx}{\sqrt{x^2-2x+5}}[/math].
Решение
Первый способ
Предварительно, чтобы не отвлекаться в дальнейшем решении, рассмотрим один интеграл:
[dmath] \int\sqrt{z^2+4}dz =\left[\begin{aligned} & u=\sqrt{z^2+4};\;du=\frac{zdz}{\sqrt{z^2+4}};\\ & dv=dz;\;v=z. \end{aligned}\right] =z\sqrt{z^2+4}-\int\frac{z^2dz}{\sqrt{z^2+4}}=\\ =z\sqrt{z^2+4}-\int\frac{z^2+4-4}{\sqrt{z^2+4}}dz =z\sqrt{z^2+4}-\int\left(\sqrt{z^2+4}-\frac{4}{\sqrt{z^2+4}}\right)dz =z\sqrt{z^2+4}-\int\sqrt{z^2+4}dz+4\int\frac{dz}{\sqrt{z^2+4}}. [/dmath]
[dmath] \int\sqrt{z^2+4}dz =\frac{z}{2}\sqrt{z^2+4}+2\int\frac{dz}{\sqrt{z^2+4}} [/dmath]
Вычислять до конца данный интеграл нет необходимости. Возвращаясь к исходному интегралу, получим:
[dmath] \int\frac{\left(2x^2-3x\right)dx}{\sqrt{x^2-2x+5}} =\int\frac{\left(2x^2-3x\right)dx}{\sqrt{(x-1)^2+4}} =\left[\begin{aligned} &z=x-1;\\ &dz=dx. \end{aligned}\right] =\int\frac{2(z+1)^2-3(z+1)}{\sqrt{z^2+4}}dz=\\ =\int\frac{2z^2+z-1}{\sqrt{z^2+4}}dz =\int\frac{2\left(z^2+4\right)+z-9}{\sqrt{z^2+4}}dz =2\int\sqrt{z^2+4}dz+\int\frac{zdz}{\sqrt{z^2+4}}-9\int\frac{dz}{\sqrt{z^2+4}}=\\ =z\sqrt{z^2+4}+\int\frac{zdz}{\sqrt{z^2+4}}-5\int\frac{dz}{\sqrt{z^2+4}} =z\sqrt{z^2+4}+\frac{1}{2}\int\left(z^2+4\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(z^2+4\right)-5\int\frac{dz}{\sqrt{z^2+4}}=\\ =z\sqrt{z^2+4}+\sqrt{z^2+4}-5\ln\left(z+\sqrt{z^2+4}\right)+C =x\sqrt{x^2-2x+5}-5\ln\left(x-1+\sqrt{x^2-2x+5}\right)+C. [/dmath]
Второй способ
Этот способ основан на формуле, обоснование которой можно найти в книге Фихтенгольца "Курс дифференциального и интегрального исчисления" (том №2, пункт №284):
[dmath] \int\frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx =Q_{n-1}(x)\sqrt{ax^2+bx+c}+\lambda\int\frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}} [/dmath]
Здесь [math]P_n(x)[/math] – многочлен n-го порядка, а [math]Q_{n-1}(x)[/math] – многочлен n-1-го порядка. Для заданного интеграла данная формула примет такой вид:
[dmath]
\int\frac{\left(2x^2-3x\right)dx}{\sqrt{x^2-2x+5}}
=(ax+b)\sqrt{x^2-2x+5}+\lambda\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-2x+5}}
[/dmath]
Дифференцируя обе части этого равенства, получим:
[dmath] \frac{2x^2-3x}{\sqrt{x^2-2x+5}} =a\sqrt{x^2-2x+5}+(ax+b)\cdot\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+5}}+\frac{\lambda}{\sqrt{x^2-2x+5}};\\ 2x^2-3x=a\left(x^2-2x+5\right)+(ax+b)\cdot(x-1)+\lambda;\\ 2x^2-3x=2a\cdot{x^2}+(b-3a)\cdot{x}+5a-b+\lambda. [/dmath]
[dmath] \left\{\begin{aligned} &2a=2;\\ &b-3a=-3;\\ &5a-b+k=0. \end{aligned}\right. [/dmath]
Решая данную систему, получим [math]a=1[/math], [math]b=0[/math], [math]\lambda=-5[/math]. Подставляя найденные значения, будем иметь:
[dmath] \int\frac{\left(2x^2-3x\right)dx}{\sqrt{x^2-2x+5}} =x\sqrt{x^2-2x+5}-5\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-2x+5}}=\\ =x\sqrt{x^2-2x+5}-5\int\frac{d(x-1)}{\sqrt{(x-1)^2+4}} =x\sqrt{x^2-2x+5}-5\ln\left(x-1+\sqrt{x^2-2x+5}\right)+C. [/dmath]
Ответ
[math]x\sqrt{x^2-2x+5}-5\ln\left(x-1+\sqrt{x^2-2x+5}\right)+C[/math]
