2162-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2162 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{x^2\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}[/math].

Решение

Заранее отмечу, что в дальнейшем решении учитывается [math]\sgn{x}=\sgn{t}[/math]. Все преобразования ведём на произвольном промежутке, не содержащем ноль.

[dmath] \int\frac{dx}{x^2\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)} =\left[t=\frac{1}{x}\right] =-\int\frac{dt}{\frac{1}{t}+\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}} =-\int\frac{tdt}{1+\sgn{t}\cdot\sqrt{t^2+1}}=\\ =-\sgn{t}\cdot\int\frac{tdt}{\sgn{t}+\sqrt{1+t^2}} =\left[\begin{aligned} &u=\sqrt{t^2+1};\;u^2=t^2+1.\\ &udu=tdt. \end{aligned}\right] =-\sgn{t}\cdot\int\frac{udu}{\sgn{t}+u}=\\ =\sgn{t}\cdot\int\left(\frac{\sgn{t}}{u+\sgn{t}}-1\right)dt =\sgn{t}\cdot\left(\sgn{t}\ln|u+\sgn{t}|-u\right)+C =\ln\left|\sqrt{1+t^2}+\sgn{t}\right|-\sgn{t}\sqrt{1+t^2}+C=\\ =\ln\left|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\sgn{x}\right|-\sgn{x}\cdot\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+C =\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{x}\right|-\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}+C. [/dmath]

Ответ

[math]\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{x}\right|-\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}+C[/math]