2158-1
Информация о задаче
Задача №2158 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\sqrt{x^2-2x-1}dx[/math].
Решение
В ходе решения этой задачи будем использовать такой интеграл:
[dmath] \int\sqrt{x^2+k}dx =\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+k}+\frac{k}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^2+k}\right|+C [/dmath]
Этот интеграл был рассмотрен в 2464-1.
[dmath]
\int\sqrt{x^2-2x-1}dx
=\int\sqrt{(x-1)^2-2}dx
=\left[z=x-1\right]
=\int\sqrt{z^2-2}dz=\\
=\frac{1}{2}z\sqrt{z^2-2}-\ln\left|z+\sqrt{z^2-2}\right|+C
=\frac{x-1}{2}\sqrt{x^2-2x-1}-\ln\left|x-1+\sqrt{x^2-2x-1}\right|+C
[/dmath]
Ответ
[math]\frac{x-1}{2}\sqrt{x^2-2x-1}-\ln\left|x-1+\sqrt{x^2-2x-1}\right|+C[/math]
