2151-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2151 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+x+1}}[/math].

Решение

[math] \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+x+1}} =\int\frac{dx}{x\cdot|x|\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}} =\sgn{x}\int\frac{dx}{x^2\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}} =\left[t=\frac{1}{x}\right]=\\ =-\sgn{x}\int\frac{dt}{\sqrt{t^2+t+1}} =-\sgn{x}\int\frac{d\left(t+\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}} =-\sgn{x}\cdot\ln\left(t+\frac{1}{2}+\sqrt{t^2+t+1}\right) =-\sgn{x}\cdot\ln\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\right)+C. [/math]

Ответ

[math]-\sgn{x}\cdot\ln\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\right)+C[/math]