2123-1

Информация о задаче

Задача №2123 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\sqrt{1+\sin{x}}dx[/math].

Решение

[math] \int\sqrt{1+\sin{x}}dx =\int\sqrt{\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}dx =\int\sqrt{\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)^2}dx =\int\left|\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right|dx. [/math]

Если [math]\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\le{0}[/math], то получим:

[math] \int\left|\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right|dx =-\int\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)dx =-2\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)+C [/math]

Если [math]\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\ge{0}[/math], то получим:

[math] \int\left|\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right|dx =\int\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)dx =2\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)+C [/math]

Ответ

Задача решена.