2123-1

Информация о задаче

Задача №2123 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\sqrt{1+\sin{x}}dx[/math].

Решение

[dmath] \int\sqrt{1+\sin{x}}dx =\int\sqrt{\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}dx =\int\sqrt{\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)^2}dx =\int\left|\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right|dx. [/dmath]

Если [math]\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\le{0}[/math], то получим:

[dmath] \int\left|\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right|dx =-\int\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)dx =-2\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)+C [/dmath]

Если [math]\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\ge{0}[/math], то получим:

[dmath] \int\left|\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right|dx =\int\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)dx =2\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)+C [/dmath]

Ответ

Задача решена.

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Отблагодарить автора и помочь проекту "Решебник" можно тут:

• ЮMoney: 41001470069426
• WebMoney: Z207266121363

Собранные средства расходуются на поддержание работы сайта (доменное имя, хостинг и т.д.).