Задача №1622
Условие
Найти интеграл \(\int\sqrt{1+\sin{x}}dx\).
Решение
\[
\int\sqrt{1+\sin{x}}dx
=\int\sqrt{\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}dx=\\
=\int\sqrt{\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)^2}dx
=\int\left|\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right|dx.
\]
Если \(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\le{0}\), то получим:
\[
\int\left|\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right|dx
=-\int\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)dx
=-2\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)+C
\]
Если \(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\ge{0}\), то получим:
\[
\int\left|\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right|dx
=\int\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)dx
=2\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)+C
\]
Ответ:
Задача решена.