2120-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2120 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{a^2\sin^2{x}+b^2\cos^2{x}}[/math].

Решение

Если [math]a=b=0[/math], то выражение [math]\frac{1}{a^2\sin^2{x}+b^2\cos^2{x}}[/math] не имеет смысла.Если какой-то из параметров равен нулю, а второй отличен от нуля, то получим табличный интеграл. Рассмотрим случай [math]a\neq{0}[/math], [math]b\neq{0}[/math].

[dmath] \int\frac{dx}{a^2\sin^2{x}+b^2\cos^2{x}} =\int\frac{\frac{dx}{\cos^2{x}}}{a^2\cdot\left(\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\right)^2+b^2}=\\ =\frac{1}{a^2}\cdot\int\frac{d(\tg{x})}{\tg^2{x}+\left(\frac{b}{a}\right)^2} =\frac{1}{ab}\arctg\frac{a\tg{x}}{b}+C. [/dmath]

Ответ

[math]\frac{1}{ab}\arctg\frac{a\tg{x}}{b}+C[/math]