Задача №1620
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{dx}{1-\sin^4{x}}\).
Решение
\[
\int\frac{dx}{1-\sin^4{x}}
=\int\frac{dx}{\left(1-\sin^2{x}\right)\left(1+\sin^2{x}\right)}
=\int\frac{dx}{\cos^2{x}\left(2-\cos^2{x}\right)}=\\
=\int\frac{d(\tg{x})}{2-\frac{1}{\tg^2{x}+1}}
=\left[t=\tg{x}\right]
=\int\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2t^2+1}\right)dt
=\frac{\tg{x}}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctg\left(\sqrt{2}\tg{x}\right)+C
\]
Ответ:
\(\frac{\tg{x}}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctg\left(\sqrt{2}\tg{x}\right)+C\)