2102-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2102 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{\sin^3{x}}[/math].

Решение

В принципе, здесь можно сделать стандартную подстановку [math]t=\tg\frac{x}{2}[/math], после которой мы получим такой интеграл:

[dmath] \frac{1}{4}\int\frac{\left(1+t^2\right)^2}{t^3}dt [/dmath]

Дальнейшее вычисление стандартно - раскрыть скобки, разделить почленно и т.д. Поинтереснее мне кажется вариант применения формулы интегрирования по частям:

[dmath] \int\frac{dx}{\sin^3{x}} =-\int\frac{1}{\sin{x}}d\left(\ctg{x}\right) =-\frac{1}{\sin{x}}\cdot\ctg{x}-\int\frac{\cos^2{x}}{\sin^3{x}}dx=\\ =-\frac{1}{\sin{x}}\cdot\ctg{x}-\int\left(\frac{1}{\sin^3{x}}-\frac{1}{\sin{x}}\right)dx =-\frac{\cos{x}}{\sin^2{x}}-\int\frac{dx}{\sin^3{x}}+\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right| [/dmath]

Из последнего равенства имеем:

[dmath] \int\frac{dx}{\sin^3{x}} =-\frac{\cos{x}}{2\sin^2{x}}+\frac{1}{2}\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right|+C [/dmath]

Ответ

[math]-\frac{\cos{x}}{2\sin^2{x}}+\frac{1}{2}\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right|+C[/math]