2099-1

Информация о задаче

Задача №2099 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\ctg^4{x}dx[/math].

Решение

[math] \int\ctg^4{x}dx =\left[\begin{aligned} & t=\ctg{x};\\ & dx=-\frac{dt}{1+t^2}. \end{aligned}\right] =-\int\frac{t^4dt}{1+t^2} =\int\frac{1-t^4-1}{1+t^2}dt =\int\frac{\left(1-t^2\right)\left(1+t^2\right)-1}{1+t^2}dt=\\ =\int\left(1-t^2-\frac{1}{1+t^2}\right)dt =t-\frac{t^3}{3}+\arcctg{t}+C =\ctg{x}-\frac{\ctg^3{x}}{3}+x+C. [/math]

Ответ

[math]\ctg{x}-\frac{\ctg^3{x}}{3}+x+C[/math]