Задача №1617
Условие
Найти интеграл \(\int\ctg^4{x}dx\).
Решение
\[
\int\ctg^4{x}dx
=\left[\begin{aligned}
& t=\ctg{x};\\
& dx=-\frac{dt}{1+t^2}.
\end{aligned}\right]
=-\int\frac{t^4dt}{1+t^2}
=\int\frac{1-t^4-1}{1+t^2}dt
=\int\frac{\left(1-t^2\right)\left(1+t^2\right)-1}{1+t^2}dt=\\
=\int\left(1-t^2-\frac{1}{1+t^2}\right)dt
=t-\frac{t^3}{3}+\arcctg{t}+C
=\ctg{x}-\frac{\ctg^3{x}}{3}+x+C.
\]
Ответ:
\(\ctg{x}-\frac{\ctg^3{x}}{3}+x+C\)