2098-1

Информация о задаче

Задача №2098 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\cos^6{x}dx[/math].

Решение

[dmath] \int\cos^6{x}dx =\int\left(\frac{1+\cos{2x}}{2}\right)^3dx =\frac{1}{8}\int\left(1+3\cos{2x}+3\cos^2{2x}\right)dx+\frac{1}{8}\int\cos^3{2x}dx=\\ =\frac{1}{8}\cdot\int\left(\frac{5}{2}+3\cos{2x}+\frac{3}{2}\cos{4x}\right)dx+\frac{1}{16}\cdot\int\left(1-\sin^2{2x}\right)d(\sin{2x}) =\frac{5x}{16}+\frac{\sin{2x}}{4}+\frac{3\sin{4x}}{64}-\frac{\sin^3{2x}}{48}+C. [/dmath]

Ответ

[math]\frac{5x}{16}+\frac{\sin{2x}}{4}+\frac{3\sin{4x}}{64}-\frac{\sin^3{2x}}{48}+C[/math]