Задача №1613
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{dx}{\sin^4{x}\cos^4{x}}\).
Решение
Первый способ
\[
\int\frac{dx}{\sin^4{x}\cos^4{x}}
=\int\frac{16dx}{\sin^4{2x}}
=8\cdot\int\frac{d(\ctg{2x})}{\sin^2{2x}}
=-8\cdot\int\left(\ctg^2{2x}+1\right)d(\ctg{2x})
=-\frac{8\ctg^3{2x}}{3}-8\ctg{2x}+C
\]
Второй способ
В задачнике приводится ответ с \(\tg{x}\). Перейти к тангенсам можно такими преобразованиями:
\[
\int\frac{dx}{\sin^4{x}\cos^4{x}}
=\int\left(\frac{1}{\sin^2{x}}\right)^2\cdot\frac{1}{\cos^2{x}}\cdot\frac{dx}{\cos^2{x}}=\\
=\int\left(\frac{1}{\tg^2{x}}+1\right)^2\cdot\left(1+\tg^2{x}\right)^2 d(\tg{x})
=[u=\tg{x}]
=\int\left(\frac{1}{u^4}+\frac{3}{u^2}+u^2+3\right)du
=\ldots
\]
Ответ:
\(-\frac{8\ctg^3{2x}}{3}-8\ctg{2x}+C\)