2095-1
Информация о задаче
Задача №2095 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{\sin^4{x}\cos^4{x}}[/math].
Решение
Первый способ
[dmath] \int\frac{dx}{\sin^4{x}\cos^4{x}} =\int\frac{16dx}{\sin^4{2x}} =8\cdot\int\frac{d(\ctg{2x})}{\sin^2{2x}} =-8\cdot\int\left(\ctg^2{2x}+1\right)d(\ctg{2x}) =-\frac{8\ctg^3{2x}}{3}-8\ctg{2x}+C [/dmath]
Второй способ
В задачнике приводится ответ с [math]\tg{x}[/math]. Перейти к тангенсам можно такими преобразованиями:
[dmath] \int\frac{dx}{\sin^4{x}\cos^4{x}} =\int\left(\frac{1}{\sin^2{x}}\right)^2\cdot\frac{1}{\cos^2{x}}\cdot\frac{dx}{\cos^2{x}}=\\ =\int\left(\frac{1}{\tg^2{x}}+1\right)^2\cdot\left(1+\tg^2{x}\right)^2 d(\tg{x}) =[u=\tg{x}] =\int\left(\frac{1}{u^4}+\frac{3}{u^2}+u^2+3\right)du =\ldots [/dmath]
Ответ
[math]-\frac{8\ctg^3{2x}}{3}-8\ctg{2x}+C[/math]
