2094-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2094 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{\cos^3{x}\sin^3{x}}[/math].

Решение

[dmath] \int\frac{dx}{\cos^3{x}\sin^3{x}} =\int\frac{\left(\sin^2{x}+\cos^2{x}\right)^2dx}{\cos^3{x}\sin^3{x}} =\int\left(\frac{\sin{x}}{\cos^3{x}}+\frac{2}{\sin{x}\cos{x}}+\frac{\cos{x}}{\sin^3{x}}\right)dx=\\ =-\int(\cos{x})^{-3}d(\cos{x})+2\int\frac{d(2x)}{\sin{2x}}+\int(\sin{x})^{-3}d(\sin{x}) =\frac{1}{2\cos^2{x}}+2\ln|\tg{x}|-\frac{1}{2\sin^2{x}}+C [/dmath]

Если нужно получить ответ такой же, как в задачнике Бермана, то достаточно применить такие преобразования:

[dmath] \int\frac{\sin{x}}{\cos^3{x}}dx =\int\tg{x}d(\tg{x});\\ \int\frac{\cos{x}}{\sin^3{x}}dx =-\int\ctg{x}d(\ctg{x}). [/dmath]

Ответ

[math]\frac{1}{2\cos^2{x}}+2\ln|\tg{x}|-\frac{1}{2\sin^2{x}}+C[/math]