Задача №1612
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{dx}{\cos^3{x}\sin^3{x}}\).
Решение
\[
\int\frac{dx}{\cos^3{x}\sin^3{x}}
=\int\frac{\left(\sin^2{x}+\cos^2{x}\right)^2dx}{\cos^3{x}\sin^3{x}}
=\int\left(\frac{\sin{x}}{\cos^3{x}}+\frac{2}{\sin{x}\cos{x}}+\frac{\cos{x}}{\sin^3{x}}\right)dx=\\
=-\int(\cos{x})^{-3}d(\cos{x})+2\int\frac{d(2x)}{\sin{2x}}+\int(\sin{x})^{-3}d(\sin{x})
=\frac{1}{2\cos^2{x}}+2\ln|\tg{x}|-\frac{1}{2\sin^2{x}}+C
\]
Если нужно получить ответ такой же, как в задачнике Бермана, то достаточно применить такие преобразования:
\[
\int\frac{\sin{x}}{\cos^3{x}}dx
=\int\tg{x}d(\tg{x});\\
\int\frac{\cos{x}}{\sin^3{x}}dx
=-\int\ctg{x}d(\ctg{x}).
\]
Ответ:
\(\frac{1}{2\cos^2{x}}+2\ln|\tg{x}|-\frac{1}{2\sin^2{x}}+C\)