2054-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2054 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{\left(x^2+1\right)^4}[/math].

Решение

Будем использовать те же обозначения и формулы, что и в примере 2052-1

[dmath] J_{4}=\frac{1}{2na^2}\cdot\frac{x}{\left(x^2+a^2\right)^n}+\frac{2n-1}{2na^2}\cdot{J_3} =\frac{x}{6a^2\left(x^2+a^2\right)^3}+\frac{5x}{24a^4\left(x^2+a^2\right)^2}+\frac{5x}{16a^6\left(x^2+a^2\right)}+\frac{5}{16a^7}\arctg\frac{x}{a}+C [/dmath]

Подставляя в записанную выше формулу значение [math]a=1[/math], получим искомый интеграл:

[dmath] \int\frac{dx}{\left(x^2+1\right)^4} =\frac{x}{6\left(x^2+1\right)^3}+\frac{5x}{24\left(x^2+1\right)^2}+\frac{5x}{16\left(x^2+1\right)}+\frac{5}{16}\arctg{x}+C [/dmath]

Ответ

[math]\frac{x}{6\left(x^2+1\right)^3}+\frac{5x}{24\left(x^2+1\right)^2}+\frac{5x}{16\left(x^2+1\right)}+\frac{5}{16}\arctg{x}+C[/math]