2052-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2052 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{\left(x^2+9\right)^3}[/math].

Решение

Обозначим [math]J_n=\int\frac{dx}{\left(x^2+a^2\right)^n}[/math]. При [math]n=1[/math] получим:

[dmath] J_1=\int\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctg\frac{x}{a}+C [/dmath]

Будем использовать следующую рекуррентную формулу:

[dmath] J_{n+1}=\frac{1}{2na^2}\cdot\frac{x}{\left(x^2+a^2\right)^n}+\frac{2n-1}{2na^2}\cdot{J_n} [/dmath]

Данный интеграл подробно рассмотрен в книге Г.М. Фихтенгольца "Курс дифференциального и интегрального исчисления" (том №2, стр. 35).

С учётом данной формулы, получим:

[dmath] \begin{aligned} & J_2=\frac{1}{2a^2}\cdot\frac{x}{x^2+a^2}+\frac{1}{2a^2}\cdot{J_1} =\frac{x}{2a^2\left(x^2+a^2\right)}+\frac{1}{2a^3}\arctg\frac{x}{a}+C;\\ & J_3=\frac{1}{4a^2}\cdot\frac{x}{\left(x^2+a^2\right)^2}+\frac{3}{4a^2}\cdot{J_2} =\frac{x}{4a^2\left(x^2+a^2\right)^2}+\frac{3x}{8a^4\left(x^2+a^2\right)}+\frac{3}{8a^5}\arctg\frac{x}{a}+C. \end{aligned} [/dmath]


Подставляя в последнюю формулу значение [math]a=3[/math], получим искомый интеграл:

[dmath] \int\frac{dx}{\left(x^2+9\right)^3} =\frac{x}{36\left(x^2+9\right)^2}+\frac{x}{216\left(x^2+9\right)}+\frac{1}{648}\arctg\frac{x}{3}+C [/dmath]

Ответ

[math]\frac{x}{36\left(x^2+9\right)^2}+\frac{x}{216\left(x^2+9\right)}+\frac{1}{648}\arctg\frac{x}{3}+C[/math]