2048-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2048 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{x^3+x-1}{\left(x^2+2\right)^2}dx[/math].

Решение

В принципе, здесь можно пойти стандартным путём, раскладывая подынтегральную дробь на элементарные дроби, а затем находя коэффициенты:

[dmath] \frac{x^3+x-1}{\left(x^2+2\right)^2} =\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{\left(x^2+1\right)^2} =\frac{(Ax+B)\left(x^2+2\right)+Cx+D}{\left(x^2+2\right)^2} [/dmath]

[dmath] x^3+x-1 =(Ax+B)\left(x^2+2\right)+Cx+D [/dmath]

Подставляя [math]x=\sqrt{2}i[/math], получим:

[dmath] -1-\sqrt{2}i=D+\sqrt{2}Ci;\\ D=-1;\;C=-1. [/dmath]

Подставляя [math]C=-1[/math] и [math]D=-1[/math], будем иметь:

[dmath] x^3+x-1 =(Ax+B)\left(x^2+2\right)-x-1;\\ x\left(x^2+2\right)=(Ax+B)\left(x^2+2\right);\\ x=Ax+B\;\Rightarrow\; A=1;\;B=0. [/dmath]

Коэффициенты найдены, однако, как мне кажется, для их вычисления стандартный путь несколько громоздок. Гораздо проще провести пару банальных преобразований в числителе:

[math] \frac{x^3+x-1}{\left(x^2+2\right)^2} =\frac{x^3+2x-x-1}{\left(x^2+2\right)^2} =\frac{x\left(x^2+2\right)}{\left(x^2+2\right)^2}-\frac{x}{\left(x^2+2\right)^2}-\frac{1}{\left(x^2+2\right)^2} =\frac{x}{x^2+2}-\frac{x}{\left(x^2+2\right)^2}-\frac{1}{\left(x^2+2\right)^2} [/math]


Вернёмся к исходному интегралу:

[math] \int\frac{x^3+x-1}{\left(x^2+2\right)^2}dx =\int\frac{xdx}{x^2+2}-\int\frac{x}{\left(x^2+2\right)^2}dx-\int\frac{dx}{\left(x^2+2\right)^2}=\\ =\frac{1}{2}\ln\left(x^2+2\right)+\frac{1}{2\left(x^2+2\right)}-\left(\frac{x}{4\left(x^2+2\right)}+\frac{1}{4\sqrt{2}}\arctg\frac{x}{\sqrt{2}}\right)+C=\\ =\frac{1}{2}\ln\left(x^2+2\right)+\frac{2-x}{4\left(x^2+2\right)}-\frac{1}{4\sqrt{2}}\arctg\frac{x}{\sqrt{2}}+C [/math]

Ответ

[math]\frac{1}{2}\ln\left(x^2+2\right)+\frac{2-x}{4\left(x^2+2\right)}-\frac{1}{4\sqrt{2}}\arctg\frac{x}{\sqrt{2}}+C[/math]