Задача №1605
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{x^3+x-1}{\left(x^2+2\right)^2}dx\).
Решение
В принципе, здесь можно пойти стандартным путём, раскладывая подынтегральную дробь на элементарные дроби, а затем находя коэффициенты:
\[
\frac{x^3+x-1}{\left(x^2+2\right)^2}
=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{\left(x^2+1\right)^2}
=\frac{(Ax+B)\left(x^2+2\right)+Cx+D}{\left(x^2+2\right)^2}
\]
\[
x^3+x-1
=(Ax+B)\left(x^2+2\right)+Cx+D
\]
Подставляя \(x=\sqrt{2}i\), получим:
\[
-1-\sqrt{2}i=D+\sqrt{2}Ci;\\
D=-1;\;C=-1.
\]
Подставляя \(C=-1\) и \(D=-1\), будем иметь:
\[
x^3+x-1
=(Ax+B)\left(x^2+2\right)-x-1;\\
x\left(x^2+2\right)=(Ax+B)\left(x^2+2\right);\\
x=Ax+B\;\Rightarrow\; A=1;\;B=0.
\]
Коэффициенты найдены, однако, как мне кажется, для их вычисления стандартный путь несколько громоздок. Гораздо проще провести пару банальных преобразований в числителе:
\[
\frac{x^3+x-1}{\left(x^2+2\right)^2}
=\frac{x^3+2x-x-1}{\left(x^2+2\right)^2}=\\
=\frac{x\left(x^2+2\right)}{\left(x^2+2\right)^2}-\frac{x}{\left(x^2+2\right)^2}-\frac{1}{\left(x^2+2\right)^2}
=\frac{x}{x^2+2}-\frac{x}{\left(x^2+2\right)^2}-\frac{1}{\left(x^2+2\right)^2}
\]
Вернёмся к исходному интегралу:
\[
\int\frac{x^3+x-1}{\left(x^2+2\right)^2}dx
=\int\frac{xdx}{x^2+2}-\int\frac{x}{\left(x^2+2\right)^2}dx-\int\frac{dx}{\left(x^2+2\right)^2}=\\
=\frac{1}{2}\ln\left(x^2+2\right)+\frac{1}{2\left(x^2+2\right)}-\left(\frac{x}{4\left(x^2+2\right)}+\frac{1}{4\sqrt{2}}\arctg\frac{x}{\sqrt{2}}\right)+C=\\
=\frac{1}{2}\ln\left(x^2+2\right)+\frac{2-x}{4\left(x^2+2\right)}-\frac{1}{4\sqrt{2}}\arctg\frac{x}{\sqrt{2}}+C
\]
Ответ:
\(\frac{1}{2}\ln\left(x^2+2\right)+\frac{2-x}{4\left(x^2+2\right)}-\frac{1}{4\sqrt{2}}\arctg\frac{x}{\sqrt{2}}+C\)