2046-1

Информация о задаче

Задача №2046 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\left(x^3-6\right)dx}{x^4+6x^2+8}[/math].

Решение

[dmath] \frac{x^3-6}{x^4+6x^2+8} =\frac{x^3-6}{\left(x^2+2\right)\cdot\left(x^2+4\right)}=\\ =\frac{Ax+B}{x^2+2}+\frac{Cx+D}{x^2+4} =\frac{(Ax+B)\left(x^2+4\right)+(Cx+D)\left(x^2+2\right)}{x^4+6x^2+8} [/dmath]

[dmath] \begin{aligned} & x^3-6=(Ax+B)\left(x^2+4\right)+(Cx+D)\left(x^2+2\right)\\ & x=2i;\;-6-8i=-2D-4Ci;\;\left\{\begin{aligned}&D=3;\\&C=2.\end{aligned}\right.\\ & x=\sqrt{2}i;\;-6-2\sqrt{2}i=2B+2\sqrt{2}Ai;\;\left\{\begin{aligned}&B=3;\\&A=-1.\end{aligned}\right. \end{aligned} [/dmath]

[math] \int\frac{\left(x^3-6\right)dx}{x^4+6x^2+8} =\int\left(-\frac{x}{x^2+2}+\frac{2x}{x^2+4}+\frac{3}{x^2+4}-\frac{3}{x^2+2}\right)dx=\\ =-\frac{1}{2}\ln\left(x^2+2\right)+\ln\left(x^2+4\right)+\frac{3}{2}\arctg\frac{x}{2}-\frac{3}{\sqrt{2}}\arctg\frac{x}{\sqrt{2}}+C =\ln\frac{x^2+4}{\sqrt{x^2+2}}+\frac{3}{2}\arctg\frac{x}{2}-\frac{3}{\sqrt{2}}\arctg\frac{x}{\sqrt{2}}+C [/math]

Ответ

[math]\ln\frac{x^2+4}{\sqrt{x^2+2}}+\frac{3}{2}\arctg\frac{x}{2}-\frac{3}{\sqrt{2}}\arctg\frac{x}{\sqrt{2}}+C[/math]