Задача №1602
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{x^5+2x^3+4x+4}{x^4+2x^3+2x^2}dx\).
Решение
\[x^5+2x^3+4x+4=(x-2)\left(x^4+2x^3+2x^2\right)+4x^3+4x^2+4x+4\]
\[
\frac{x^5+2x^3+4x+4}{x^4+2x^3+2x^2}
=x-2+\frac{4x^3+4x^2+4x+4}{x^4+2x^3+2x^2}
\]
\[
\frac{4x^3+4x^2+4x+4}{x^2\left(x^2+2x+2\right)}
=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx+D}{x^2+2x+2}
=\frac{Ax\left(x^2+2x+2\right)+B\left(x^2+2x+2\right)+(Cx+D)x^2}{x^2+2x+2}
\]
\[
\begin{aligned}
& 4x^3+4x^2+4x+4=Ax\left(x^2+2x+2\right)+B\left(x^2+2x+2\right)+(Cx+D)x^2\\
& x=0;\;4=2B;\;B=2.
\end{aligned}
\]
Подставляя \(B=2\) и упрощая, получим:
\[
\begin{aligned}
& 4x^2+2x=A\left(x^2+2x+2\right)+(Cx+D)x\\
& x=0;\;0=2A;\;A=0.
\end{aligned}
\]
Подставляя \(A=0\) и упрощая, имеем:
\[
\begin{aligned}
& 4x+2=Cx+D\\
& C=4;\;D=2.
\end{aligned}
\]
\[
\frac{x^5+2x^3+4x+4}{x^4+2x^3+2x^2}
=x-2+\frac{2}{x^2}+\frac{4x+2}{x^2+2x+2}
\]
\[
\int\frac{x^5+2x^3+4x+4}{x^4+2x^3+2x^2}dx
=\int\left(x-2+\frac{2}{x^2}+\frac{4x+2}{x^2+2x+2}\right)dx=\\
=\frac{x^2}{2}-2x-\frac{2}{x}+2\ln\left(x^2+2x+2\right)-2\arctg(x+1)+C
\]
Ответ:
\(\frac{x^2}{2}-2x-\frac{2}{x}+2\ln\left(x^2+2x+2\right)-2\arctg(x+1)+C\)