2045-1

Информация о задаче

Задача №2045 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{x^5+2x^3+4x+4}{x^4+2x^3+2x^2}dx[/math].

Решение

[math]x^5+2x^3+4x+4=(x-2)\left(x^4+2x^3+2x^2\right)+4x^3+4x^2+4x+4[/math]

[math] \frac{x^5+2x^3+4x+4}{x^4+2x^3+2x^2} =x-2+\frac{4x^3+4x^2+4x+4}{x^4+2x^3+2x^2} [/math]

[math] \frac{4x^3+4x^2+4x+4}{x^2\left(x^2+2x+2\right)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx+D}{x^2+2x+2} =\frac{Ax\left(x^2+2x+2\right)+B\left(x^2+2x+2\right)+(Cx+D)x^2}{x^2+2x+2} [/math]

[dmath] \begin{aligned} & 4x^3+4x^2+4x+4=Ax\left(x^2+2x+2\right)+B\left(x^2+2x+2\right)+(Cx+D)x^2\\ & x=0;\;4=2B;\;B=2. \end{aligned} [/dmath]

Подставляя [math]B=2[/math] и упрощая, получим:

[dmath] \begin{aligned} & 4x^2+2x=A\left(x^2+2x+2\right)+(Cx+D)x\\ & x=0;\;0=2A;\;A=0. \end{aligned} [/dmath]

Подставляя [math]A=0[/math] и упрощая, имеем:

[dmath] \begin{aligned} & 4x+2=Cx+D\\ & C=4;\;D=2. \end{aligned} [/dmath]

[math] \frac{x^5+2x^3+4x+4}{x^4+2x^3+2x^2} =x-2+\frac{2}{x^2}+\frac{4x+2}{x^2+2x+2} [/math]

[math] \int\frac{x^5+2x^3+4x+4}{x^4+2x^3+2x^2}dx =\int\left(x-2+\frac{2}{x^2}+\frac{4x+2}{x^2+2x+2}\right)dx=\\ =\frac{x^2}{2}-2x-\frac{1}{x}+2\ln\left(x^2+2x+2\right)-2\arctg(x+1)+C [/math]

Ответ

[math]\frac{x^2}{2}-2x-\frac{1}{x}+2\ln\left(x^2+2x+2\right)-2\arctg(x+1)+C[/math]