2044-1
Информация о задаче
Задача №2044 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{\left(3x^2+x+3\right)dx}{(x-1)^3\left(x^2+1\right)}[/math].
Решение
[dmath] \frac{3x^2+x+3}{(x-1)^3\left(x^2+1\right)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}+\frac{Dx+E}{x^2+1} =\frac{A(x-1)^2\left(x^2+1\right)+B(x-1)\left(x^2+1\right)+C\left(x^2+1\right)+(Dx+E)(x-1)^3}{(x-1)^3\left(x^2+1\right)} [/dmath]
[dmath]
3x^2+x+3=A(x-1)^2\left(x^2+1\right)+B(x-1)\left(x^2+1\right)+C\left(x^2+1\right)+(Dx+E)(x-1)^3
[/dmath]
Подставляя [math]x=1[/math], получим [math]C=\frac{7}{2}[/math]. Подставляя [math]C=\frac{7}{2}[/math] и упрощая, будем иметь:
[dmath] 3x^2+x+3-\frac{7}{2}\left(x^2+1\right)=A(x-1)^2\left(x^2+1\right)+B(x-1)\left(x^2+1\right)+(Dx+E)(x-1)^3\\ -\frac{x-1}{2}=A(x-1)\left(x^2+1\right)+B\left(x^2+1\right)+(Dx+E)(x-1)^2 [/dmath]
Вновь подставляя [math]x=1[/math], имеем [math]B=0[/math]. После подстановки [math]B=0[/math] и упрощения, будем иметь:
[dmath] -\frac{1}{2}=A\left(x^2+1\right)+(Dx+E)(x-1) [/dmath]
Подставляем [math]x=1[/math] и получаем [math]A=-\frac{1}{4}[/math]. Подставляем [math]A=-\frac{1}{4}[/math] и упрощаем:
[dmath] -\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdot\left(x^2+1\right)=(Dx+E)(x-1)\\ \frac{1}{4}x+\frac{1}{4}=Dx+E. [/dmath]
Отсюда имеем: [math]D=\frac{1}{4}[/math], [math]E=\frac{1}{4}[/math].
[dmath] \int\frac{\left(3x^2+x+3\right)dx}{(x-1)^3\left(x^2+1\right)} =\int\left(-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-1}+\frac{7}{2}\cdot\frac{1}{(x-1)^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^2+1}\right)dx=\\ =-\frac{1}{4}\ln|x-1|-\frac{7}{4(x-1)^2}+\frac{1}{8}\ln\left(x^2+1\right)+\frac{1}{4}\arctg{x}+C. [/dmath]
Ответ
[math]-\frac{1}{4}\ln|x-1|-\frac{7}{4(x-1)^2}+\frac{1}{8}\ln\left(x^2+1\right)+\frac{1}{4}\arctg{x}+C[/math]
