2042-1
Информация о задаче
Задача №2042 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+x\right)}[/math].
Решение
[dmath] \frac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+x\right)} =\frac{1}{x(x+1)\left(x^2+1\right)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+1} =\frac{A(x+1)\left(x^2+1\right)+Bx\left(x^2+1\right)+(Cx+D)x(x+1)}{x(x+1)\left(x^2+1\right)} [/dmath]
[dmath]
1=A(x+1)\left(x^2+1\right)+Bx\left(x^2+1\right)+(Cx+D)x(x+1)
[/dmath]
[dmath] \begin{aligned} & x=0;\;A=1.\\ & x=-1;\;1=-2B;\;B=-\frac{1}{2}.\\ & x=1;\;1=2C+2D+3;\;C+D=-1.\\ & x=3;\;1=36C+12D+25;\;3C+D=-2. \end{aligned} [/dmath]
Из двух полученных уравнений имеем [math]C=D=-\frac{1}{2}[/math].
[dmath] \int\frac{dx}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+x\right)} =\int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^2+1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2+1}\right)dx =\ln|x|-\frac{1}{2}\ln|x+1|-\frac{1}{4}\ln\left(x^2+1\right)-\frac{1}{2}\arctg{x}+C [/dmath]
Ответ
[math]\ln|x|-\frac{1}{2}\ln|x+1|-\frac{1}{4}\ln\left(x^2+1\right)-\frac{1}{2}\arctg{x}+C[/math]
