Задача №1599
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{dx}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+x\right)}\).
Решение
\[
\frac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+x\right)}
=\frac{1}{x(x+1)\left(x^2+1\right)}
=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+1}=\\
=\frac{A(x+1)\left(x^2+1\right)+Bx\left(x^2+1\right)+(Cx+D)x(x+1)}{x(x+1)\left(x^2+1\right)}
\]
\[
1=A(x+1)\left(x^2+1\right)+Bx\left(x^2+1\right)+(Cx+D)x(x+1)
\]
\[
\begin{aligned}
& x=0;\;A=1.\\
& x=-1;\;1=-2B;\;B=-\frac{1}{2}.\\
& x=1;\;1=2C+2D+3;\;C+D=-1.\\
& x=3;\;1=36C+12D+25;\;3C+D=-2.
\end{aligned}
\]
Из двух полученных уравнений имеем \(C=D=-\frac{1}{2}\).
\[
\int\frac{dx}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+x\right)}
=\int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^2+1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2+1}\right)dx=\\
=\ln|x|-\frac{1}{2}\ln|x+1|-\frac{1}{4}\ln\left(x^2+1\right)-\frac{1}{2}\arctg{x}+C
\]
Ответ:
\(\ln|x|-\frac{1}{2}\ln|x+1|-\frac{1}{4}\ln\left(x^2+1\right)-\frac{1}{2}\arctg{x}+C\)