2040-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2040 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\left(x^4+1\right)dx}{x^3-x^2+x-1}[/math].

Решение

[dmath] \frac{x^4+1}{x^3-x^2+x-1} =x+1+\frac{2}{x^3-x^2+x-1} [/dmath]

[dmath] \frac{2}{(x-1)\left(x^2+1\right)} =\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1} =\frac{A\left(x^2+1\right)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)\left(x^2+1\right)} [/dmath]

[dmath] 2=A\left(x^2+1\right)+(Bx+C)(x-1) [/dmath]

[dmath] \begin{aligned} & x=1;\;2=2A;\;A=1.\\ & x=0;\;2=A-C=1-C;\;C=-1.\\ & x=2;\;2=5A+2B+C=4+2B;\;B=-1. \end{aligned} [/dmath]

[dmath] \int\frac{\left(x^4+1\right)dx}{x^3-x^2+x-1} =\int\left(x+1+\frac{1}{x-1}-\frac{x}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+1}\right)dx =\frac{x^2}{2}+x+\ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)-\arctg{x}+C [/dmath]

Ответ

[math]\frac{x^2}{2}+x+\ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)-\arctg{x}+C[/math]