Задача №1596
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{\left(2x^2-3x-3\right)dx}{(x-1)\left(x^2-2x+5\right)}\).
Решение
\[
\frac{2x^2-3x-3}{(x-1)\left(x^2-2x+5\right)}
=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2-2x+5}
=\frac{A\left(x^2-2x+5\right)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)\left(x^2-2x+5\right)}
\]
\[
2x^2-3x-3=A\left(x^2-2x+5\right)+(Bx+C)(x-1)
\]
\[
\begin{aligned}
& x=1;\;-4=4A;\;A=-1.\\
& x=0;\;-3=5A-C=-5-C;\;C=-2.\\
& x=2;\;-1=7A+2B+C=2B-7;\;B=3.
\end{aligned}
\]
Для интегрирования второй дроби будем использовать готовую формулу, верную при \(p^2-4q\lt{0}\):
\[
\int \frac{Mx+N}{x^2+px+q} dx= \frac{M}{2}\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac{2N-Mp}{\sqrt{4q-p^2}}\arctg\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C
\]
Можно получить результат и последовательными преобразованиями подынтегрального выражения (см. 1594).
Возвращаясь к исходному интегралу, получим:
\[
\int\frac{\left(2x^2-3x-3\right)dx}{(x-1)\left(x^2-2x+5\right)}
=\int\left(-\frac{1}{x-1}+\frac{3x-2}{x^2-2x+5}\right)dx=\\
=-\ln|x-1|+\frac{3}{2}\ln\left(x^2-2x+5\right)+\frac{1}{2}\arctg\frac{x-1}{2}+C
\]
Ответ:
\(-\ln|x-1|+\frac{3}{2}\ln\left(x^2-2x+5\right)+\frac{1}{2}\arctg\frac{x-1}{2}+C\)