2039-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2039 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\left(2x^2-3x-3\right)dx}{(x-1)\left(x^2-2x+5\right)}[/math].

Решение

[dmath] \frac{2x^2-3x-3}{(x-1)\left(x^2-2x+5\right)} =\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2-2x+5} =\frac{A\left(x^2-2x+5\right)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)\left(x^2-2x+5\right)} [/dmath]

[dmath] 2x^2-3x-3=A\left(x^2-2x+5\right)+(Bx+C)(x-1) [/dmath]

[dmath] \begin{aligned} & x=1;\;-4=4A;\;A=-1.\\ & x=0;\;-3=5A-C=-5-C;\;C=-2.\\ & x=2;\;-1=7A+2B+C=2B-7;\;B=3. \end{aligned} [/dmath]

Для интегрирования второй дроби будем использовать готовую формулу, верную при [math]p^2-4q\lt{0}[/math]:

[dmath] \int \frac{Mx+N}{x^2+px+q} dx= \frac{M}{2}\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac{2N-Mp}{\sqrt{4q-p^2}}\arctg\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C [/dmath]

Можно получить результат и последовательными преобразованиями подынтегрального выражения (см. 2037-1).

Возвращаясь к исходному интегралу, получим:

[dmath] \int\frac{\left(2x^2-3x-3\right)dx}{(x-1)\left(x^2-2x+5\right)} =\int\left(-\frac{1}{x-1}+\frac{3x-2}{x^2-2x+5}\right)dx =-\ln|x-1|+\frac{3}{2}\ln\left(x^2-2x+5\right)+\frac{1}{2}\arctg\frac{x-1}{2}+C [/dmath]

Ответ

[math]-\ln|x-1|+\frac{3}{2}\ln\left(x^2-2x+5\right)+\frac{1}{2}\arctg\frac{x-1}{2}+C[/math]