2038-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2038 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{xdx}{x^3-1}[/math].

Решение

[dmath] \frac{x}{x^3-1} =\frac{x}{(x-1)\left(x^2+x+1\right)} =\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1} =\frac{A\left(x^2+x+1\right)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)\left(x^2+x+1\right)} [/dmath]

[dmath] x=A\left(x^2+x+1\right)+(Bx+C)(x-1) [/dmath]

[dmath] \begin{aligned} & x=1;\;1=3A;\;A=\frac{1}{3}.\\ & x=0;\;0=A-C=\frac{1}{3}-C;\;C=\frac{1}{3}.\\ & x=2;\;2=7A+2B+C=2B+\frac{8}{3};\;B=-\frac{1}{3}. \end{aligned} [/dmath]

Для интегрирования второй дроби будем использовать готовую формулу, верную при [math]p^2-4q\lt{0}[/math]:

[dmath] \int \frac{Mx+N}{x^2+px+q} dx= \frac{M}{2}\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac{2N-Mp}{\sqrt{4q-p^2}}\arctg\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C [/dmath]

Можно получить результат и последовательными преобразованиями подынтегрального выражения (см. №2037).

Возвращаясь к исходному интегралу, получим:

[dmath] \int\frac{xdx}{x^3-1} =\frac{1}{3}\int\frac{dx}{x-1}-\frac{1}{3}\int\frac{x-1}{x^2+x+1}dx =\frac{1}{3}\ln|x-1|-\frac{1}{6}\ln\left(x^2+x+1\right)+\frac{\sqrt{3}}{3}\arctg\frac{2x+1}{\sqrt{3}}+C [/dmath]

Ответ

[math]\frac{1}{3}\ln|x-1|-\frac{1}{6}\ln\left(x^2+x+1\right)+\frac{\sqrt{3}}{3}\arctg\frac{2x+1}{\sqrt{3}}+C[/math]