Задача №1595
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{xdx}{x^3-1}\).
Решение
\[
\frac{x}{x^3-1}
=\frac{x}{(x-1)\left(x^2+x+1\right)}
=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}
=\frac{A\left(x^2+x+1\right)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)\left(x^2+x+1\right)}
\]
\[
x=A\left(x^2+x+1\right)+(Bx+C)(x-1)
\]
\[
\begin{aligned}
& x=1;\;1=3A;\;A=\frac{1}{3}.\\
& x=0;\;0=A-C=\frac{1}{3}-C;\;C=\frac{1}{3}.\\
& x=2;\;2=7A+2B+C=2B+\frac{8}{3};\;B=-\frac{1}{3}.
\end{aligned}
\]
Для интегрирования второй дроби будем использовать готовую формулу, верную при \(p^2-4q\lt{0}\):
\[
\int \frac{Mx+N}{x^2+px+q} dx= \frac{M}{2}\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac{2N-Mp}{\sqrt{4q-p^2}}\arctg\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C
\]
Можно получить результат и последовательными преобразованиями подынтегрального выражения (см. 1594).
Возвращаясь к исходному интегралу, получим:
\[
\int\frac{xdx}{x^3-1}
=\frac{1}{3}\int\frac{dx}{x-1}-\frac{1}{3}\int\frac{x-1}{x^2+x+1}dx
=\frac{1}{3}\ln|x-1|-\frac{1}{6}\ln\left(x^2+x+1\right)+\frac{\sqrt{3}}{3}\arctg\frac{2x+1}{\sqrt{3}}+C
\]
Ответ:
\(\frac{1}{3}\ln|x-1|-\frac{1}{6}\ln\left(x^2+x+1\right)+\frac{\sqrt{3}}{3}\arctg\frac{2x+1}{\sqrt{3}}+C\)