Задача №1594
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{dx}{1+x^3}\).
Решение
\[
\frac{1}{1+x^3}
=\frac{1}{(x+1)\left(x^2-x+1\right)}
=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}
=\frac{A\left(x^2-x+1\right)+(Bx+C)(x+1)}{(x+1)\left(x^2-x+1\right)}
\]
\[
1=A\left(x^2-x+1\right)+(Bx+C)(x+1)
\]
\[
\begin{aligned}
& x=-1;\;1=3A;\;A=\frac{1}{3}.\\
& x=0;\;1=A+C=\frac{1}{3}+C;\;C=\frac{2}{3}.\\
& x=1;\;1=A+2B+2C=2B+\frac{5}{3};\;B=-\frac{1}{3}.
\end{aligned}
\]
\[
\frac{1}{1+x^3}
=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x+1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{x-2}{x^2-x+1}
\]
В принципе, для интегрирования второй дроби можно использовать готовую формулу, верную при \(p^2-4q\lt{0}\):
\[
\int \frac{Mx+N}{x^2+px+q} dx= \frac{M}{2}\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac{2N-Mp}{\sqrt{4q-p^2}}\arctg\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C
\]
Можно получить результат и последовательными преобразованиями подынтегрального выражения:
\( \int\frac{x-2}{x^2-x+1}dx =\int\frac{\frac{1}{2}(2x-1)-\frac{3}{2}}{x^2-x+1}dx =\frac{1}{2}\int\frac{2x-1}{x^2-x+1}dx-\frac{3}{2}\int\frac{dx}{x^2-x+1}=\\ =\frac{1}{2}\int\frac{d\left(x^2-x+1\right)}{x^2-x+1}-\frac{3}{2}\int\frac{d\left(x-\frac{1}{2}\right)}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} =\frac{1}{2}\ln\left(x^2-x+1\right)-\sqrt{3}\arctg\frac{2x-1}{\sqrt{3}}+C \)Возвращаясь к исходному интегралу, получим:
\[
\int\frac{dx}{1+x^3}
=\frac{1}{3}\int\frac{dx}{x+1}-\frac{1}{3}\int\frac{x-2}{x^2-x+1}dx
=\frac{1}{3}\ln|x+1|-\frac{1}{6}\ln\left(x^2-x+1\right)+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctg\frac{2x-1}{\sqrt{3}}+C
\]
Ответ:
\(\frac{1}{3}\ln|x+1|-\frac{1}{6}\ln\left(x^2-x+1\right)+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctg\frac{2x-1}{\sqrt{3}}+C\)