2037-1
Информация о задаче
Задача №2037 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{1+x^3}[/math].
Решение
[dmath] \frac{1}{1+x^3} =\frac{1}{(x+1)\left(x^2-x+1\right)} =\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1} =\frac{A\left(x^2-x+1\right)+(Bx+C)(x+1)}{(x+1)\left(x^2-x+1\right)} [/dmath]
[dmath] 1=A\left(x^2-x+1\right)+(Bx+C)(x+1) [/dmath]
[dmath] \begin{aligned} & x=-1;\;1=3A;\;A=\frac{1}{3}.\\ & x=0;\;1=A+C=\frac{1}{3}+C;\;C=\frac{2}{3}.\\ & x=1;\;1=A+2B+2C=2B+\frac{5}{3};\;B=-\frac{1}{3}. \end{aligned} [/dmath]
[dmath] \frac{1}{1+x^3} =\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x+1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{x-2}{x^2-x+1} [/dmath]
В принципе, для интегрирования второй дроби можно использовать готовую формулу, верную при [math]p^2-4q\lt{0}[/math]:
[dmath] \int \frac{Mx+N}{x^2+px+q} dx= \frac{M}{2}\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac{2N-Mp}{\sqrt{4q-p^2}}\arctg\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C [/dmath]
Можно получить результат и последовательными преобразованиями подынтегрального выражения:
[math] \int\frac{x-2}{x^2-x+1}dx =\int\frac{\frac{1}{2}(2x-1)-\frac{3}{2}}{x^2-x+1}dx =\frac{1}{2}\int\frac{2x-1}{x^2-x+1}dx-\frac{3}{2}\int\frac{dx}{x^2-x+1}=\\ =\frac{1}{2}\int\frac{d\left(x^2-x+1\right)}{x^2-x+1}-\frac{3}{2}\int\frac{d\left(x-\frac{1}{2}\right)}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} =\frac{1}{2}\ln\left(x^2-x+1\right)-\sqrt{3}\arctg\frac{2x-1}{\sqrt{3}}+C [/math]
Возвращаясь к исходному интегралу, получим:
[dmath] \int\frac{dx}{1+x^3} =\frac{1}{3}\int\frac{dx}{x+1}-\frac{1}{3}\int\frac{x-2}{x^2-x+1}dx =\frac{1}{3}\ln|x+1|-\frac{1}{6}\ln\left(x^2-x+1\right)+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctg\frac{2x-1}{\sqrt{3}}+C [/dmath]
Ответ
[math]\frac{1}{3}\ln|x+1|-\frac{1}{6}\ln\left(x^2-x+1\right)+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctg\frac{2x-1}{\sqrt{3}}+C[/math]
