2036-1
Информация о задаче
Задача №2036 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{x\left(x^2+1\right)}[/math].
Решение
[dmath] \frac{1}{x\left(x^2+1\right)} =\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1} =\frac{A\left(x^2+1\right)+(Bx+C)x}{x\left(x^2+1\right)}. [/dmath]
[dmath] 1=A\left(x^2+1\right)+(Bx+C)x [/dmath]
Подставляя [math]x=0[/math], получим [math]A=1[/math]. Подставляя [math]A=1[/math], будем иметь:
[dmath] 1=x^2+1+x(Bx+C);\; -x^2=x(Bx+C);\; -x=Bx+C. [/dmath]
Следовательно, [math]B=-1[/math], [math]C=0[/math].
[dmath] \int\frac{dx}{x\left(x^2+1\right)} =\int\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}\right)dx =\ln|x|-\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C. [/dmath]
Ответ
[math]\ln|x|-\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C[/math]
