2036-1

Информация о задаче

Задача №2036 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{x\left(x^2+1\right)}[/math].

Решение

[dmath] \frac{1}{x\left(x^2+1\right)} =\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1} =\frac{A\left(x^2+1\right)+(Bx+C)x}{x\left(x^2+1\right)}. [/dmath]

[dmath] 1=A\left(x^2+1\right)+(Bx+C)x [/dmath]

Подставляя [math]x=0[/math], получим [math]A=1[/math]. Подставляя [math]A=1[/math], будем иметь:

[dmath] 1=x^2+1+x(Bx+C);\; -x^2=x(Bx+C);\; -x=Bx+C. [/dmath]

Следовательно, [math]B=-1[/math], [math]C=0[/math].

[dmath] \int\frac{dx}{x\left(x^2+1\right)} =\int\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}\right)dx =\ln|x|-\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C. [/dmath]

Ответ

[math]\ln|x|-\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C[/math]