2035-1

Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2035 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{3x^2+1}{\left(x^2-1\right)^3}dx[/math].

Решение

[dmath] \frac{3x^2+1}{\left(x^2-1\right)^3} =\frac{3x^2+1}{(x-1)^3(x+1)^3} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}+\frac{D}{x+1}+\frac{E}{(x+1)^2}+\frac{F}{(x+1)^3}=\\ =\frac{A(x-1)^2(x+1)^3+B(x-1)(x+1)^3+C(x+1)^3+D(x-1)^3(x+1)^2+E(x-1)^3(x+1)+F(x-1)^3}{(x-1)^3(x+1)^3} [/dmath]

[dmath] \begin{equation} 3x^2+1 =A(x-1)^2(x+1)^3+B(x-1)(x+1)^3+C(x+1)^3+D(x-1)^3(x+1)^2+E(x-1)^3(x+1)+F(x-1)^3 \label{eq:1} \end{equation} [/dmath]

Подставляя [math]x=1[/math], получим [math]4=8C[/math], откуда [math]C=\frac{1}{2}[/math]. Аналогично, после подстановки [math]x=-1[/math], получим [math]F=-\frac{1}{2}[/math].

Подставляем [math]C=\frac{1}{2}[/math] и [math]F=-\frac{1}{2}[/math] в [math]\eqref{eq:1}[/math]:

[dmath] 3x^2+1 =A(x-1)^2(x+1)^3+B(x-1)(x+1)^3+\frac{1}{2}(x+1)^3+D(x-1)^3(x+1)^2+E(x-1)^3(x+1)-\frac{1}{2}(x-1)^3. [/dmath]

После упрощения имеем такое равенство:

[dmath] \begin{equation} 0 =A(x-1)(x+1)^2+B(x+1)^2+D(x-1)^2(x+1)+E(x-1)^2. \label{eq:2} \end{equation} [/dmath]

Вновь подставляя в [math]\eqref{eq:2}[/math] значения [math]x=-1[/math] и [math]x=1[/math], получим [math]B=E=0[/math]. С учётом найденных значений [math]B[/math] и [math]E[/math], равенство [math]\eqref{eq:2}[/math] после упрощения примет такую форму:

[dmath] \begin{equation} 0 =A(x+1)+D(x-1). \label{eq:3} \end{equation} [/dmath]

Подстановка [math]x=-1[/math] и [math]x=1[/math] даст нам значения [math]A=D=0[/math]. Впрочем, учитывая единственность разложения дроби на элементарные, из [math]\eqref{eq:2}[/math] можно сразу сделать вывод о том, что [math]A=B=D=E=0[/math].

Возвращаемся к исходному интегралу:

[dmath] \int\frac{3x^2+1}{\left(x^2-1\right)^3}dx =\int\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(x-1)^3}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(x+1)^3}\right)dx =-\frac{1}{4(x-1)^2}+\frac{1}{4(x+1)^2}+C =-\frac{x}{\left(x^2-1\right)^2}+C [/dmath]

Ответ

[math]-\frac{x}{\left(x^2-1\right)^2}+C[/math]

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).
Отблагодарить автора и помочь проекту "Решебник" можно тут: Собранные средства расходуются на поддержание работы сайта (доменное имя, хостинг и т.д.).