2035-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2035 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{3x^2+1}{\left(x^2-1\right)^3}dx[/math].

Решение

[dmath] \frac{3x^2+1}{\left(x^2-1\right)^3} =\frac{3x^2+1}{(x-1)^3(x+1)^3} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}+\frac{D}{x+1}+\frac{E}{(x+1)^2}+\frac{F}{(x+1)^3}=\\ =\frac{A(x-1)^2(x+1)^3+B(x-1)(x+1)^3+C(x+1)^3+D(x-1)^3(x+1)^2+E(x-1)^3(x+1)+F(x-1)^3}{(x-1)^3(x+1)^3} [/dmath]

[dmath] \begin{equation} 3x^2+1 =A(x-1)^2(x+1)^3+B(x-1)(x+1)^3+C(x+1)^3+D(x-1)^3(x+1)^2+E(x-1)^3(x+1)+F(x-1)^3 \label{eq:1} \end{equation} [/dmath]

Подставляя [math]x=1[/math], получим [math]4=8C[/math], откуда [math]C=\frac{1}{2}[/math]. Подставляем [math]C=\frac{1}{2}[/math] в [math]\eqref{eq:1}[/math]:

[dmath] 3x^2+1 =A(x-1)^2(x+1)^3+B(x-1)(x+1)^3+\frac{1}{2}(x+1)^3+D(x-1)^3(x+1)^2+E(x-1)^3(x+1)+F(x-1)^3;\\ -\frac{(x-1)^3}{2} =A(x-1)^2(x+1)^3+B(x-1)(x+1)^3+D(x-1)^3(x+1)^2+E(x-1)^3(x+1)+F(x-1)^3. [/dmath]

[dmath] \begin{equation} -\frac{(x-1)^2}{2} =A(x-1)(x+1)^3+B(x+1)^3+D(x-1)^2(x+1)^2+E(x-1)^2(x+1)+F(x-1)^2. \label{eq:2} \end{equation} [/dmath]

Подставляя [math]x=1[/math], получим [math]0=8B[/math], откуда [math]B=0[/math]. Подставляем [math]B=0[/math] в [math]\eqref{eq:2}[/math]:

[dmath] -\frac{(x-1)^2}{2} =A(x-1)(x+1)^3+D(x-1)^2(x+1)^2+E(x-1)^2(x+1)+F(x-1)^2. [/dmath]

[dmath] \begin{equation} -\frac{x-1}{2} =A(x+1)^3+D(x-1)(x+1)^2+E(x-1)(x+1)+F(x-1). \label{eq:3} \end{equation} [/dmath]

Подставляя [math]x=1[/math], получим [math]0=8A[/math], откуда [math]A=0[/math]. Подставляем [math]A=0[/math] в [math]\eqref{eq:3}[/math]:

[dmath] -\frac{x-1}{2} =D(x-1)(x+1)^2+E(x-1)(x+1)+F(x-1). [/dmath]

[dmath] \begin{equation} -\frac{1}{2} =D(x+1)^2+E(x+1)+F. \label{eq:4} \end{equation} [/dmath]

Подставляя [math]x=-1[/math], получим [math]F=-\frac{1}{2}[/math]. Подставляем [math]F=-\frac{1}{2}[/math] в [math]\eqref{eq:4}[/math]:

[dmath] -\frac{1}{2} =D(x+1)^2+E(x+1)-\frac{1}{2};\; 0=D(x+1)^2+E(x+1). [/dmath]

[dmath] \begin{equation} 0 =D(x+1)+E =Dx+D+E. \label{eq:5} \end{equation} [/dmath]

Из [math]\eqref{eq:5}[/math] имеем: [math]D=0[/math], [math]E=0[/math]. Возвращаемся к исходному интегралу:


[dmath] \int\frac{3x^2+1}{\left(x^2-1\right)^3}dx =\int\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(x-1)^3}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(x+1)^3}\right)dx =-\frac{1}{4(x-1)^2}+\frac{1}{4(x+1)^2}+C =-\frac{x}{\left(x^2-1\right)^2}+C [/dmath]

Ответ

[math]-\frac{x}{\left(x^2-1\right)^2}+C[/math]