2034-1

Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2034 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{x^3-2x^2+4}{x^3(x-2)^2}dx[/math].

Решение

[dmath] \frac{x^3-2x^2+4}{x^3(x-2)^2} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x^3}+\frac{D}{x-2}+\frac{E}{(x-2)^2} =\frac{Ax^2(x-2)^2+Bx(x-2)^2+C(x-2)^2+Dx^3(x-2)+Ex^3}{x^3(x-2)^2} [/dmath]

[dmath] \begin{equation} x^3-2x^2+4 =Ax^2(x-2)^2+Bx(x-2)^2+C(x-2)^2+Dx^3(x-2)+Ex^3 \label{eq:1} \end{equation} [/dmath]

Подставляя [math]x=0[/math], получим [math]4=4C[/math], откуда [math]C=1[/math]. Аналогично, подставляя [math]x=2[/math], получим [math]E=\frac{1}{2}[/math].

Подставляем [math]C=1[/math] и [math]E=\frac{1}{2}[/math] в [math]\eqref{eq:1}[/math]:

[dmath] x^3-2x^2+4 =Ax^2(x-2)^2+Bx(x-2)^2+(x-2)^2+Dx^3(x-2)+\frac{1}{2}x^3;\\ \frac{1}{2}x^3-3x^2+4x =Ax^2(x-2)^2+Bx(x-2)^2+Dx^3(x-2);\\ x(x-2)\left(\frac{1}{2}x-2\right) =Ax^2(x-2)^2+Bx(x-2)^2+Dx^3(x-2). [/dmath]

[dmath] \begin{equation} \frac{1}{2}x-2 =Ax(x-2)+B(x-2)+Dx^2 \label{eq:2} \end{equation} [/dmath]

Подставляя [math]\eqref{eq:2}[/math] значения [math]x=0[/math] и [math]x=2[/math], получим соответственно [math]B=1[/math] и [math]D=-\frac{1}{4}[/math]. Далее, после подстановки [math]x=-2[/math] имеем уравнение [math]8A-4B+4D=-3[/math], откуда получаем [math]A=\frac{1}{4}[/math].

Возвращаемся к исходному интегралу:


[dmath] \int\frac{x^3-2x^2+4}{x^3(x-2)^2}dx =\int\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(x-2)^2}\right)dx =\frac{1}{4}\ln|x|-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{4}\ln|x-2|-\frac{1}{2(x-2)}+C. [/dmath]

Ответ

[math]\frac{1}{4}\ln|x|-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{4}\ln|x-2|-\frac{1}{2(x-2)}+C[/math]

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).