Задача №1591
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{x^3-2x^2+4}{x^3(x-2)^2}dx\).
Решение
\[
\frac{x^3-2x^2+4}{x^3(x-2)^2}
=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x^3}+\frac{D}{x-2}+\frac{E}{(x-2)^2}=\\
=\frac{Ax^2(x-2)^2+Bx(x-2)^2+C(x-2)^2+Dx^3(x-2)+Ex^3}{x^3(x-2)^2}
\]
\[
\begin{equation}
x^3-2x^2+4
=Ax^2(x-2)^2+Bx(x-2)^2+C(x-2)^2+Dx^3(x-2)+Ex^3
\label{eq:1}
\end{equation}
\]
Подставляя \(x=0\), получим \(4=4C\), откуда \(C=1\). Аналогично, подставляя \(x=2\), получим \(E=\frac{1}{2}\).
Подставляем \(C=1\) и \(E=\frac{1}{2}\) в \(\eqref{eq:1}\):
\[
x^3-2x^2+4
=Ax^2(x-2)^2+Bx(x-2)^2+(x-2)^2+Dx^3(x-2)+\frac{1}{2}x^3;\\
\frac{1}{2}x^3-3x^2+4x
=Ax^2(x-2)^2+Bx(x-2)^2+Dx^3(x-2);\\
x(x-2)\left(\frac{1}{2}x-2\right)
=Ax^2(x-2)^2+Bx(x-2)^2+Dx^3(x-2).
\]
\[
\begin{equation}
\frac{1}{2}x-2
=Ax(x-2)+B(x-2)+Dx^2
\label{eq:2}
\end{equation}
\]
Подставляя \(\eqref{eq:2}\) значения \(x=0\) и \(x=2\), получим соответственно \(B=1\) и \(D=-\frac{1}{4}\). Далее, после подстановки \(x=-2\) имеем уравнение \(8A-4B+4D=-3\), откуда получаем \(A=\frac{1}{4}\).
Возвращаемся к исходному интегралу:
\[
\int\frac{x^3-2x^2+4}{x^3(x-2)^2}dx
=\int\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(x-2)^2}\right)dx=\\
=\frac{1}{4}\ln|x|-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{4}\ln|x-2|-\frac{1}{2(x-2)}+C.
\]
Ответ:
\(\frac{1}{4}\ln|x|-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{4}\ln|x-2|-\frac{1}{2(x-2)}+C\)