2034-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2034 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{x^3-2x^2+4}{x^3(x-2)^2}dx[/math].

Решение

[dmath] \frac{x^3-2x^2+4}{x^3(x-2)^2} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x^3}+\frac{D}{x-2}+\frac{E}{(x-2)^2} =\frac{Ax^2(x-2)^2+Bx(x-2)^2+C(x-2)^2+Dx^3(x-2)+Ex^3}{x^3(x-2)^2} [/dmath]

[dmath] \begin{equation} x^3-2x^2+4 =Ax^2(x-2)^2+Bx(x-2)^2+C(x-2)^2+Dx^3(x-2)+Ex^3 \label{eq:1} \end{equation} [/dmath]

Подставляя [math]x=0[/math], получим [math]4=4C[/math], откуда [math]C=1[/math]. Подставляем [math]C=1[/math] в [math]\eqref{eq:1}[/math]:

[dmath] x^3-2x^2+4 =Ax^2(x-2)^2+Bx(x-2)^2+(x-2)^2+Dx^3(x-2)+Ex^3;\\ x^3-3x^2+4x =Ax^2(x-2)^2+Bx(x-2)^2+Dx^3(x-2)+Ex^3. [/dmath]

[dmath] \begin{equation} x^2-3x+4 =Ax(x-2)^2+B(x-2)^2+Dx^2(x-2)+Ex^2. \label{eq:2} \end{equation} [/dmath]

Подставляя [math]x=0[/math], получим [math]4=4B[/math], откуда [math]B=1[/math]. Подставляем [math]B=1[/math] в [math]\eqref{eq:2}[/math]:

[dmath] x^2-3x+4 =Ax(x-2)^2+(x-2)^2+Dx^2(x-2)+Ex^2;\\ x=Ax(x-2)^2+Dx^2(x-2)+Ex^2. [/dmath]

[dmath] \begin{equation} 1 =A(x-2)^2+Dx(x-2)+Ex. \label{eq:3} \end{equation} [/dmath]

Подставляя [math]x=0[/math], получим [math]1=4A[/math], откуда [math]A=\frac{1}{4}[/math]. Подставляем [math]A=\frac{1}{4}[/math] в [math]\eqref{eq:3}[/math]:

[dmath] 1 =\frac{1}{4}(x-2)^2+Dx(x-2)+Ex;\\ -\frac{x^2}{4}+x=Dx(x-2)+Ex. [/dmath]

[dmath] \begin{equation} -\frac{x}{4}+1 =D(x-2)+E =Dx-2D+E. \label{eq:4} \end{equation} [/dmath]

Из [math]\eqref{eq:4}[/math] имеем [math]D=-\frac{1}{4}[/math] и [math]-2D+E=1[/math], откуда [math]E=1+2D=\frac{1}{2}[/math]. Возвращаемся к исходному интегралу:


[dmath] \int\frac{x^3-2x^2+4}{x^3(x-2)^2}dx =\int\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(x-2)^2}\right)dx =\frac{1}{4}\ln|x|-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{4}\ln|x-2|-\frac{1}{2(x-2)}+C. [/dmath]

Ответ

[math]\frac{1}{4}\ln|x|-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{4}\ln|x-2|-\frac{1}{2(x-2)}+C[/math]