2033-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2033 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\left(7x^3-9\right)dx}{x^4-5x^3+6x^2}[/math].

Решение

[dmath] \frac{7x^3-9}{x^4-5x^3+6x^2} =\frac{7x^3-9}{x^2(x-2)(x-3)}=\\ =\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-2}+\frac{D}{x-3} =\frac{Ax(x-2)(x-3)+B(x-2)(x-3)+Cx^2(x-3)+Dx^2(x-2)}{x^2(x-2)(x-3)}. [/dmath]

[dmath] 7x^3-9 =Ax(x-2)(x-3)+B(x-2)(x-3)+Cx^2(x-3)+Dx^2(x-2) [/dmath]

[dmath] \begin{aligned} & x=0;\;-9=6B;\;B=-\frac{3}{2}.\\ & x=2;\;47=-4C;\;C=-\frac{47}{4}.\\ & x=3;\;180=9D;\;D=20.\\ & x=1;\;-2=2A+2B-2C-D=2A+\frac{1}{2};\;A=-\frac{5}{4}. \end{aligned} [/dmath]


[dmath] \int\frac{\left(7x^3-9\right)dx}{x^4-5x^3+6x^2} =\int\left(-\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{x}-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x^2}-\frac{47}{4}\cdot\frac{1}{x-2}+\frac{20}{x-3}\right)dx =-\frac{5}{4}\ln|x|+\frac{3}{2x}-\frac{47}{4}\ln|x-2|+20\ln|x-3|+C [/dmath]

Ответ

[math]-\frac{5}{4}\ln|x|+\frac{3}{2x}-\frac{47}{4}\ln|x-2|+20\ln|x-3|+C[/math]