2032-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2032 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{x^2-2x+3}{(x-1)\left(x^3-4x^2+3x\right)}dx[/math].

Решение

[dmath] \frac{x^2-2x+3}{(x-1)\left(x^3-4x^2+3x\right)} =\frac{x^2-2x+3}{x(x-1)^2(x-3)}=\\ =\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}+\frac{D}{x-3} =\frac{A(x-1)^2(x-3)+Bx(x-1)(x-3)+Cx(x-3)+Dx(x-1)}{x(x-1)^2(x-3)}. [/dmath]

[dmath] x^2-2x+3 =A(x-1)^2(x-3)+Bx(x-1)(x-3)+Cx(x-3)+Dx(x-1) [/dmath]

[dmath] \begin{aligned} & x=0;\;A=-1.\\ & x=1;\;C=-1.\\ & x=3;\;D=\frac{1}{2}.\\ & x=2;\;3=-A-2B-2C+2D;\;B=\frac{1}{2}. \end{aligned} [/dmath]


[math] \int\frac{x^2-2x+3}{(x-1)\left(x^3-4x^2+3x\right)}dx =\int\left(-\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-3}\right)dx=\\ =-\ln|x|+\frac{1}{2}\ln|x-1|+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{2}\ln|x-3|+C [/math]

Ответ

[math]-\ln|x|+\frac{1}{2}\ln|x-1|+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{2}\ln|x-3|+C[/math]