2031-1
Информация о задаче
Задача №2031 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{x^5dx}{(x-1)^2\left(x^2-1\right)}[/math].
Решение
[dmath](x-1)^2\left(x^2-1\right)=x^4-2x^3+2x-1[/dmath]
Разделив [math]x^5[/math] на [math]x^4-2x^3+2x-1[/math], получим:
[dmath] x^5 =\left(x^4-2x^3+2x-1\right)(x+2)+4x^3-2x^2-3x+2 [/dmath]
[dmath] \frac{x^5}{(x-1)^2(x^2-1)} =x+2+\frac{4x^3-2x^2-3x+2}{(x-1)^2\left(x^2-1\right)} =x+2+\frac{4x^3-2x^2-3x+2}{(x-1)^3(x+1)} [/dmath]
[dmath] \frac{4x^3-2x^2-3x+2}{(x-1)^3(x+1)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}+\frac{D}{x+1} =\frac{A(x-1)^2(x+1)+B(x-1)(x+1)+C(x+1)+D(x-1)^3}{(x-1)^3(x+1)} [/dmath]
[dmath] 4x^3-2x^2-3x+2 =A(x-1)^2(x+1)+B(x-1)(x+1)+C(x+1)+D(x-1)^3 [/dmath]
[dmath] \begin{aligned} & x=1;\;C=\frac{1}{2}.\\ & x=-1;\;D=\frac{1}{8}.\\ & x=0;\;2=A-B+\frac{3}{8}.\\ & x=2;\;20=3A+3B+\frac{13}{8}. \end{aligned} [/dmath]
Решая систему уравнений [math]\left\{\begin{aligned}&A-B=\frac{13}{8};\\&3A+3B=\frac{147}{8}\end{aligned}\right.[/math], получим [math]A=\frac{31}{8}[/math], [math]B=\frac{9}{4}[/math].
[math] \int\frac{x^5dx}{(x-1)^2\left(x^2-1\right)} =\int\left(x+2+\frac{31}{8}\cdot\frac{1}{x-1}+\frac{9}{4}\cdot\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(x-1)^3}+\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{x+1}\right)dx=\\ =\frac{x^2}{2}+2x+\frac{31}{8}\ln|x-1|-\frac{9}{4(x-1)}-\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{8}\ln|x+1|+C [/math]
Ответ
[math]\frac{x^2}{2}+2x+\frac{31}{8}\ln|x-1|-\frac{9}{4(x-1)}-\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{8}\ln|x+1|+C[/math]
