2029-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2029 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{x^3-6x^2+9x+7}{(x-2)^3(x-5)}dx[/math].

Решение

[dmath] \frac{x^3-6x^2+9x+7}{(x-2)^3(x-5)} =\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^2}+\frac{C}{(x-2)^3}+\frac{D}{x-5} =\frac{A(x-5)(x-2)^2+B(x-2)(x-5)+C(x-5)+D(x-2)^3}{(x-2)^3(x-5)} [/dmath]

[dmath] x^3-6x^2+9x+7 =A(x-5)(x-2)^2+B(x-2)(x-5)+C(x-5)+D(x-2)^3 [/dmath]

[dmath] \begin{aligned} & x=2;\;C=-3.\\ & x=5;\;D=1.\\ & x=0;\;-2A+B=0.\\ & x=3;\;A+B=0. \end{aligned} [/dmath]

Из полученных уравнений имеем [math]A=B=0[/math].

[dmath] \int\frac{x^3-6x^2+9x+7}{(x-2)^3(x-5)}dx =\int\left(-\frac{3}{(x-2)^3}+\frac{1}{x-5}\right)dx =\frac{3}{2(x-2)^2}+\ln|x-5|+C. [/dmath]

Ответ

[math]\frac{3}{2(x-2)^2}+\ln|x-5|+C[/math]