2028-1
Информация о задаче
Задача №2028 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
найти интеграл [math]\int\frac{x^2dx}{(x+2)^2(x+4)^2}[/math].
Решение
[dmath] \frac{x^2}{(x+2)^2(x+4)^2} =\frac{A}{x+2}+\frac{B}{(x+2)^2}+\frac{C}{x+4}+\frac{D}{(x+4)^2} =\frac{A(x+2)(x+4)^2+B(x+4)^2+C(x+2)^2(x+4)+D(x+2)^2}{(x+2)^2(x+4)^2} [/dmath]
[dmath] x^2 =A(x+2)(x+4)^2+B(x+4)^2+C(x+2)^2(x+4)+D(x+2)^2 [/dmath]
[dmath] \begin{aligned} & x=-2;\;B=1.\\ & x=-4;\;D=4. \end{aligned} [/dmath]
Подставляя найденные значения параметров [math]B=1[/math], [math]D=4[/math], получим:
[dmath] x^2 =A(x+2)(x+4)^2+(x+4)^2+C(x+2)^2(x+4)+4(x+2)^2;\\ -4(x+4)(x+2)=A(x+2)(x+4)^2+(x+4)^2+C(x+2)^2(x+4);\\ -4=A(x+4)+C(x+2). [/dmath]
[dmath] \begin{aligned} & x=-2;\;A=-2.\\ & x=-4;\;C=2. \end{aligned} [/dmath]
[dmath] \int\frac{x^2dx}{(x+2)^2(x+4)^2} =\int\left(-\frac{2}{x+2}+\frac{1}{(x+2)^2}+\frac{2}{x+4}+\frac{4}{(x+4)^2}\right)dx =-2\ln|x+2|-\frac{1}{x+2}+2\ln|x+4|-\frac{4}{x+2}+C [/dmath]
Ответ
[math]-2\ln|x+2|-\frac{1}{x+2}+2\ln|x+4|-\frac{4}{x+2}+C[/math]
