Задача №1584
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{dx}{x^4-x^2}\).
Решение
\[
\frac{1}{x^2(x-1)(x+1)}
=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{x+1}=\\
=\frac{Ax(x-1)(x+1)+B(x-1)(x+1)+Cx^2(x+1)+Dx^2(x-1)}{x^2(x-1)(x+1)}
\]
\[
1=Ax(x-1)(x+1)+B(x-1)(x+1)+Cx^2(x+1)+Dx^2(x-1)
\]
\[
\begin{aligned}
& x=0;\;B=-1.\\
& x=1;\;C=\frac{1}{2}.\\
& x=-1;\;D=-\frac{1}{2}.\\
& x=2;\;1=6A+3B+12C+4D;\;A=0.
\end{aligned}
\]
\[
\int\frac{dx}{x^4-x^2}
=\int\left(-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}\right)dx
=\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln|x+1|+C
\]
Ответ:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln|x+1|+C\)