2027-1
Информация о задаче
Задача №2027 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{x^4-x^2}[/math].
Решение
[dmath] \frac{1}{x^2(x-1)(x+1)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{x+1} =\frac{Ax(x-1)(x+1)+B(x-1)(x+1)+Cx^2(x+1)+Dx^2(x-1)}{x^2(x-1)(x+1)} [/dmath]
[dmath] 1=Ax(x-1)(x+1)+B(x-1)(x+1)+Cx^2(x+1)+Dx^2(x-1) [/dmath]
[dmath] \begin{aligned} & x=0;\;B=-1.\\ & x=1;\;C=\frac{1}{2}.\\ & x=-1;\;D=-\frac{1}{2}.\\ & x=2;\;1=6A+3B+12C+4D;\;A=0. \end{aligned} [/dmath]
[dmath]
\int\frac{dx}{x^4-x^2}
=\int\left(-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}\right)dx
=\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln|x+1|+C
[/dmath]
Ответ
[math]\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln|x+1|+C[/math]
