2026-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2026 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{x^3-6x^2+11x-5}{(x-2)^4}dx[/math].

Решение

Разумеется, можно разложить подынтегральную дробь на элементарные стандартным алгоритмом, однако мне кажется более удобным иной путь. Положив [math]x=t+2[/math] получим:

[dmath] \frac{x^3-6x^2+11x-5}{(x-2)^4} =\frac{(t+2)^3-6(t+2)^2+11(t+2)-5}{t^4} =\frac{t^3-t+1}{t^4} =\frac{1}{t}-\frac{1}{t^3}+\frac{1}{t^4} [/dmath]

Вернёмся к исходному интегралу:

[dmath] \int\frac{x^3-6x^2+11x-5}{(x-2)^4}dx =\left[\begin{aligned} &x=t+2;\\ &dx=dt. \end{aligned}\right]=\\ =\int\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t^3}+\frac{1}{t^4}\right)dt =\ln|x-2|-\frac{1}{2(x-2)^2}+\frac{1}{3(x-2)^3}+C [/dmath]

Ответ

[math]\ln|x-2|-\frac{1}{2(x-2)^2}+\frac{1}{3(x-2)^3}+C[/math]