2025-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2025 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{x^3+1}{x^3-x^2}dx[/math].

Решение

[dmath] \frac{x^3+1}{x^3-x^2} =\frac{x^3-x^2+x^2+1}{x^3-x^2} =1+\frac{x^2+1}{x^3-x^2} [/dmath]

[dmath] \frac{x^2+1}{x^2(x-1)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1} =\frac{Ax(x-1)+B(x-1)+Cx^2}{x^2(x-1)} [/dmath]

[dmath] x^2+1 =Ax(x-1)+B(x-1)+Cx^2 [/dmath]

[dmath] \begin{aligned} & x=0;\;B=-1.\\ & x=1;\;C=2.\\ & x=2;\;5=2A+B+4C;\;A=-1. \end{aligned} [/dmath]

[dmath] \int\frac{x^3+1}{x^3-x^2}dx =\int\left(1-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x-1}\right)dx =x-\ln|x|+\frac{1}{x}+2\ln|x-1|+C [/dmath]

Ответ

[math]x+\frac{1}{x}-\ln|x|+2\ln|x-1|+C[/math]