2024-1
Информация о задаче
Задача №2024 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{x^2dx}{x^3+5x^2+8x+4}[/math].
Решение
Для разложения на множители многочлена, расположенного в знаменателе, можно использовать, например, схему Горнера. Один из корней ([math]x=1[/math]) там вполне угадывается.
[dmath] \frac{x^2}{(x+1)(x+2)^2} =\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{(x+2)^2} =\frac{A(x+2)^2+B(x+1)(x+2)+C(x+1)}{(x+1)(x+2)^2} [/dmath]
[dmath] x^2 =A(x+2)^2+B(x+1)(x+2)+C(x+1) [/dmath]
[dmath] \begin{aligned} & x=-1;\;A=1.\\ & x=-2;\;C=-4.\\ & x=0;\;0=4A+2B+C;\;B=0. \end{aligned} [/dmath]
[dmath]
\int\frac{x^2dx}{x^3+5x^2+8x+4}
=\int\left(\frac{1}{x+1}-\frac{4}{(x+2)^2}\right)dx
=\ln|x+1|+\frac{4}{x+2}+C
[/dmath]
Ответ
[math]\ln|x+1|+\frac{4}{x+2}+C[/math]
