Задача №1581
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{x^2dx}{x^3+5x^2+8x+4}\).
Решение
Для разложения на множители многочлена, расположенного в знаменателе, можно использовать, например, схему Горнера. Один из корней (\(x=1\)) там вполне угадывается.
\[
\frac{x^2}{(x+1)(x+2)^2}
=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{(x+2)^2}
=\frac{A(x+2)^2+B(x+1)(x+2)+C(x+1)}{(x+1)(x+2)^2}
\]
\[
x^2
=A(x+2)^2+B(x+1)(x+2)+C(x+1)
\]
\[
\begin{aligned}
& x=-1;\;A=1.\\
& x=-2;\;C=-4.\\
& x=0;\;0=4A+2B+C;\;B=0.
\end{aligned}
\]
\[
\int\frac{x^2dx}{x^3+5x^2+8x+4}
=\int\left(\frac{1}{x+1}-\frac{4}{(x+2)^2}\right)dx
=\ln|x+1|+\frac{4}{x+2}+C
\]
Ответ:
\(\ln|x+1|+\frac{4}{x+2}+C\)