2023-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2023 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^2\frac{dx}{x}[/math].

Решение

[dmath] \frac{x^2+4x+4}{x(x-1)^2} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2} =\frac{A(x-1)^2+Bx(x-1)+Cx}{x(x-1)^2} [/dmath]

[dmath] x^2+4x+4 =A(x-1)^2+Bx(x-1)+Cx [/dmath]

[dmath] \begin{aligned} & x=0;\;A=4.\\ & x=1;\;C=9.\\ & x=-1;\;1=4A+2B-C;\;B=-3. \end{aligned} [/dmath]


[dmath] \int\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^2\frac{dx}{x} =\int\left(\frac{4}{x}-\frac{3}{x-1}+\frac{9}{(x-1)^2}\right)dx =4\ln|x|-3\ln|x-1|-\frac{9}{x-1}+C [/dmath]

Ответ

[math]4\ln|x|-3\ln|x-1|-\frac{9}{x-1}+C[/math]