2022-1
Информация о задаче
Задача №2022 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{\left(x^2-3x+2\right)dx}{x\left(x^2+2x+1\right)}[/math].
Решение
[dmath] \frac{x^2-3x+2}{x\left(x^2+2x+1\right)} =\frac{x^2-3x+2}{x\left(x+1\right)^2}=\\ =\frac{A}{x}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x+1} =\frac{A(x+1)^2+Bx+Cx(x+1)}{x\left(x+1\right)^2} [/dmath]
[dmath] x^2-3x+2 =A(x+1)^2+Bx+Cx(x+1) [/dmath]
[dmath] \begin{aligned} &x=0;\;A=2.\\ &x=-1;\;B=-6.\\ &x=1;\;0=4A+B+2C;\;C=-1. \end{aligned} [/dmath]
[dmath] \int\frac{\left(x^2-3x+2\right)dx}{x\left(x^2+2x+1\right)} =\int\left(\frac{2}{x}-\frac{6}{(x+1)^2}-\frac{1}{x+1}\right) =2\ln|x|+\frac{6}{x+1}-\ln|x+1|+C. [/dmath]
Ответ
[math]2\ln|x|+\frac{6}{x+1}-\ln|x+1|+C[/math]
