Задача №1577
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{\left(2x^2-5\right)dx}{x^4-5x^2+6}\).
Решение
\[
\frac{2x^2-5}{x^4-5x^2+6}
=\frac{2x^2-5}{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}
=\frac{A}{x-\sqrt{2}}+\frac{B}{x+\sqrt{2}}+\frac{C}{x-\sqrt{3}}+\frac{D}{x+\sqrt{3}}
\]
Значения параметров \(A\), \(B\), \(C\) найдём методом вычёркивания, который описан в первом томе двухтомника Ильина и Позняка "Основы математического анализа" (2005 г, глава №7, параграф №7).
Например, чтобы найти значение \(A\), вычёркиваем в дроби \(\frac{2x^2-5}{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}\) скобку \((x-\sqrt{2})\), а в оставшееся выражение подставляем \(x=\sqrt{2}\):
\[
A
=\left.\frac{2x^2-5}{(x+\sqrt{2})\left(x^2-3\right)}\right|_{x=\sqrt{2}}
=\frac{1}{2\sqrt{2}}.
\]
Продолжая этот процесс, получим \(B=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\), \(C=\frac{1}{2\sqrt{3}}\), \(D=-\frac{1}{2\sqrt{3}}\).
\[
\int\frac{\left(2x^2-5\right)dx}{x^4-5x^2+6}
=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\ln|x-\sqrt{2}|-\ln|x+\sqrt{2}|\right)-\frac{1}{2\sqrt{3}}\left(\ln|x-\sqrt{3}|-\ln|x+\sqrt{3}|\right)+C=\\
=\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left|\frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}\right|+\frac{1}{2\sqrt{3}}\ln\left|\frac{x-\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}}\right|+C
\]
Ответ:
\(\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left|\frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}\right|+\frac{1}{2\sqrt{3}}\ln\left|\frac{x-\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}}\right|+C\)