2020-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2020 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\left(2x^2-5\right)dx}{x^4-5x^2+6}[/math].

Решение

[dmath] \frac{2x^2-5}{x^4-5x^2+6} =\frac{2x^2-5}{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})} =\frac{A}{x-\sqrt{2}}+\frac{B}{x+\sqrt{2}}+\frac{C}{x-\sqrt{3}}+\frac{D}{x+\sqrt{3}} [/dmath]

Значения параметров [math]A[/math], [math]B[/math], [math]C[/math] найдём методом вычёркивания, который описан в первом томе двухтомника Ильина и Позняка "Основы математического анализа" (2005 г, глава №7, параграф №7).

Например, чтобы найти значение [math]A[/math], вычёркиваем в дроби [math]\frac{2x^2-5}{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}[/math] скобку [math](x-\sqrt{2})[/math], а в оставшееся выражение подставляем [math]x=\sqrt{2}[/math]:

[dmath] A =\left.\frac{2x^2-5}{(x+\sqrt{2})\left(x^2-3\right)}\right|_{x=\sqrt{2}} =\frac{1}{2\sqrt{2}}. [/dmath]

Продолжая этот процесс, получим [math]B=-\frac{1}{2\sqrt{2}}[/math], [math]C=\frac{1}{2\sqrt{3}}[/math], [math]D=-\frac{1}{2\sqrt{3}}[/math].

[dmath] \int\frac{\left(2x^2-5\right)dx}{x^4-5x^2+6} =\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\ln|x-\sqrt{2}|-\ln|x+\sqrt{2}|\right)-\frac{1}{2\sqrt{3}}\left(\ln|x-\sqrt{3}|-\ln|x+\sqrt{3}|\right)+C =\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left|\frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}\right|+\frac{1}{2\sqrt{3}}\ln\left|\frac{x-\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}}\right|+C [/dmath]

Ответ

[math]\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left|\frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}\right|+\frac{1}{2\sqrt{3}}\ln\left|\frac{x-\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}}\right|+C[/math]