2019-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2019 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{xdx}{x^4-3x^2+2}[/math].

Решение

Мне кажется удобным сделать замену [math]t=x^2[/math], а затем уже раскладывать подынтегральную дробь на элементарные.

[dmath] \int\frac{xdx}{x^4-3x^2+2} =\left[t=x^2\right] =\frac{1}{2}\cdot\int\frac{dt}{t^2-3t+2} =\frac{1}{2}\cdot\int\frac{dt}{(t-1)(t-2)} [/dmath]

[dmath] \frac{1}{(t-1)(t-2)} =\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t-2} =\frac{A(t-2)+B(t-1)}{(t-1)(t-2)} [/dmath]

Применим метод подстановки:

[dmath] 1=A(t-2)+B(t-1) [/dmath]

[dmath] \begin{aligned} & t=1;\;A=-1.\\ & t=2;\;B=1. \end{aligned} [/dmath]

[dmath] \frac{1}{2}\cdot\int\frac{dt}{(t-1)(t-2)} =\frac{1}{2}\cdot\int\left(-\frac{1}{t-1}+\frac{1}{t-2}\right)dt=\\ =\frac{1}{2}\cdot\left(\ln|t-2|-\ln|t-1|\right)+C =\frac{1}{2}\ln\left|\frac{t-2}{t-1}\right|+C =\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x^2-2}{x^2-1}\right|+C. [/dmath]

Ответ

[math]\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x^2-2}{x^2-1}\right|+C[/math]