2018-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2018 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{32xdx}{(2x-1)\left(4x^2-16x+15\right)}[/math].

Решение

[dmath] \frac{32x}{(2x-1)\left(4x^2-16x+15\right)} =\frac{32x}{(2x-1)(2x-3)(2x-5)}=\\ =\frac{A}{2x-1}+\frac{B}{2x-3}+\frac{C}{2x-5} =\frac{A(2x-3)(2x-5)+B(2x-1)(2x-5)+C(2x-1)(2x-3)}{(2x-1)(2x-3)(2x-5)} [/dmath]

Для того, чтобы найти значения параметров [math]A[/math], [math]B[/math], [math]C[/math], сугубо для разнообразия применим метод неопределённых коэффициентов:

[dmath] 32x =A(2x-3)(2x-5)+B(2x-1)(2x-5)+C(2x-1)(2x-3) =(4A+4B+4C)x^2+(-16A-12B-8C)x+15A+5B+3C [/dmath]

[dmath] \left\{\begin{aligned} &4A+4B+4C=0;\\ &-16A-12B-8C=32;\\ &15A+5B+3C=0. \end{aligned}\right. [/dmath]

[dmath] \left\{\begin{aligned} &A+B+C=0;\\ &-4A-3B-2C=8;\\ &15A+5B+3C=0. \end{aligned}\right. [/dmath]

Решив данную систему, получим [math]A=2[/math], [math]B=-12[/math], [math]C=10[/math]. Возвращаемся к исходному интегралу:

[dmath] \int\frac{32xdx}{(2x-1)\left(4x^2-16x+15\right)} =\int\left(\frac{2}{2x-1}-\frac{12}{2x-3}+\frac{10}{2x-5}\right)dx =\ln|2x-1|-6\ln|2x-3|+5\ln|2x-5|+C [/dmath]

Ответ

[math]\ln|2x-1|-6\ln|2x-3|+5\ln|2x-5|+C[/math]