2017-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2017 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{x^3-1}{4x^3-x}dx[/math].

Решение

[dmath] \frac{x^3-1}{4x^3-x} =\frac{1}{4}\cdot\frac{4x^3-x+x-4}{4x^3-x} =\frac{1}{4}+\frac{\frac{1}{16}x-\frac{1}{4}}{x\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)} [/dmath]

[dmath] \frac{\frac{1}{16}x-\frac{1}{4}}{x\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x-\frac{1}{2}}+\frac{C}{x+\frac{1}{2}} =\frac{A\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)+Bx\left(x+\frac{1}{2}\right)+Cx\left(x-\frac{1}{2}\right)}{x\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)} [/dmath]

Для определения неизвестных параметров применим метод подстановки.

[dmath] \frac{1}{16}x-\frac{1}{4} =A\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)+Bx\left(x+\frac{1}{2}\right)+Cx\left(x-\frac{1}{2}\right) [/dmath]

[dmath] \begin{aligned} & x=0;\;-\frac{A}{4}=-\frac{1}{4};\;A=1.\\ & x=\frac{1}{2};\;-\frac{7}{32}=\frac{B}{2};\;B=-\frac{7}{16}.\\ & x=-\frac{1}{2};\;-\frac{9}{32}=\frac{C}{2};\;C=-\frac{9}{16}. \end{aligned} [/dmath]

Возвращаясь к исходному интегралу, будем иметь:

[dmath] \int\frac{x^3-1}{4x^3-x}dx =\int\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{x}-\frac{7}{16}\cdot\frac{1}{x-\frac{1}{2}}-\frac{9}{16}\cdot\frac{1}{x+\frac{1}{2}}\right) =\frac{x}{4}+\ln|x|-\frac{7}{16}\ln\left|x-\frac{1}{2}\right|-\frac{9}{16}\ln\left|x+\frac{1}{2}\right|+C [/dmath]

Ответ

[math]\frac{x}{4}+\ln|x|-\frac{7}{16}\ln\left|x-\frac{1}{2}\right|-\frac{9}{16}\ln\left|x+\frac{1}{2}\right|+C[/math]