Задача №1574
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{x^3-1}{4x^3-x}dx\).
Решение
\[
\frac{x^3-1}{4x^3-x}
=\frac{1}{4}\cdot\frac{4x^3-x+x-4}{4x^3-x}
=\frac{1}{4}+\frac{\frac{1}{16}x-\frac{1}{4}}{x\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)}
\]
\[
\frac{\frac{1}{16}x-\frac{1}{4}}{x\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)}
=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-\frac{1}{2}}+\frac{C}{x+\frac{1}{2}}
=\frac{A\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)+Bx\left(x+\frac{1}{2}\right)+Cx\left(x-\frac{1}{2}\right)}{x\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)}
\]
Для определения неизвестных параметров применим метод подстановки.
\[
\frac{1}{16}x-\frac{1}{4}
=A\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)+Bx\left(x+\frac{1}{2}\right)+Cx\left(x-\frac{1}{2}\right)
\]
\[
\begin{aligned}
& x=0;\;-\frac{A}{4}=-\frac{1}{4};\;A=1.\\
& x=\frac{1}{2};\;-\frac{7}{32}=\frac{B}{2};\;B=-\frac{7}{16}.\\
& x=-\frac{1}{2};\;-\frac{9}{32}=\frac{C}{2};\;C=-\frac{9}{16}.
\end{aligned}
\]
Возвращаясь к исходному интегралу, будем иметь:
\[
\int\frac{x^3-1}{4x^3-x}dx
=\int\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{x}-\frac{7}{16}\cdot\frac{1}{x-\frac{1}{2}}-\frac{9}{16}\cdot\frac{1}{x+\frac{1}{2}}\right)dx=\\
=\frac{x}{4}+\ln|x|-\frac{7}{16}\ln\left|x-\frac{1}{2}\right|-\frac{9}{16}\ln\left|x+\frac{1}{2}\right|+C
\]
Ответ:
\(\frac{x}{4}+\ln|x|-\frac{7}{16}\ln\left|x-\frac{1}{2}\right|-\frac{9}{16}\ln\left|x+\frac{1}{2}\right|+C\)